Номер 2.23, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.23, страница 70.

Условие.

2.23 Укажите, рациональным или иррациональным является число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt{25}$;

в) $\sqrt{37}$;

г) $2\sqrt{16}$;

д) $\frac{1}{2}\sqrt{49}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным, нужно проанализировать его структуру. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Иррациональное число, в свою очередь, так представить нельзя. Корень из натурального числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное число является полным квадратом другого целого числа.

а) $\sqrt{5}$

Число 5 не является полным квадратом какого-либо целого числа (поскольку $2^2=4$ и $3^2=9$). Это означает, что $\sqrt{5}$ является бесконечной непериодической десятичной дробью. Следовательно, это иррациональное число.

Ответ: иррациональное.

б) $\sqrt{25}$

Число 25 является полным квадратом числа 5, так как $5^2 = 25$. Поэтому $\sqrt{25} = 5$. Число 5 является целым, а любое целое число можно представить в виде дроби (например, $\frac{5}{1}$). Следовательно, это рациональное число.

Ответ: рациональное.

в) $\sqrt{37}$

Число 37 не является полным квадратом какого-либо целого числа (поскольку $6^2=36$ и $7^2=49$). Следовательно, $\sqrt{37}$ — это иррациональное число.

Ответ: иррациональное.

г) $2\sqrt{16}$

Сначала упростим выражение. Число 16 является полным квадратом числа 4, так как $4^2 = 16$. Таким образом, $\sqrt{16} = 4$. Далее, умножаем результат на 2: $2 \times 4 = 8$. Число 8 является целым и, следовательно, рациональным числом ($\frac{8}{1}$).

Ответ: рациональное.

д) $\frac{1}{2}\sqrt{49}$

Упростим выражение. Число 49 является полным квадратом числа 7, так как $7^2 = 49$. Таким образом, $\sqrt{49} = 7$. Далее, умножаем результат на $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2}$. Полученное число $\frac{7}{2}$ представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, что соответствует определению рационального числа.

Ответ: рациональное.