Номер 2.25, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.25, страница 70.

Условие.

2.25 Между какими последовательными целыми числами заключено число:

а) $\sqrt{8}$;

б) $\sqrt{15}$;

в) $\sqrt{27}$;

г) $\sqrt{150}$;

д) $\sqrt{200}$;

е) $\sqrt{480}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами заключено иррациональное число вида $ \sqrt{x} $, нужно найти такое целое число $ n $, для которого выполняется двойное неравенство $ n < \sqrt{x} < n+1 $. Возведя все части этого неравенства в квадрат, мы получим равносильное неравенство $ n^2 < x < (n+1)^2 $. Таким образом, задача сводится к поиску двух последовательных квадратов целых чисел, между которыми находится подкоренное выражение.

а) Для числа $ \sqrt{8} $ ищем целое число $ n $ такое, что выполняется неравенство $ n^2 < 8 < (n+1)^2 $.
Рассмотрим квадраты последовательных целых чисел: $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $.
Поскольку $ 4 < 8 < 9 $, то справедливо и неравенство для корней: $ \sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9} $.
Следовательно, $ 2 < \sqrt{8} < 3 $.
Ответ: между 2 и 3.

б) Для числа $ \sqrt{15} $ ищем целое число $ n $, для которого $ n^2 < 15 < (n+1)^2 $.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $ 3^2 = 9 $ и $ 4^2 = 16 $.
Так как $ 9 < 15 < 16 $, то $ \sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16} $.
Это означает, что $ 3 < \sqrt{15} < 4 $.
Ответ: между 3 и 4.

в) Для числа $ \sqrt{27} $ ищем целое число $ n $, для которого $ n^2 < 27 < (n+1)^2 $.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $ 5^2 = 25 $ и $ 6^2 = 36 $.
Из неравенства $ 25 < 27 < 36 $ следует, что $ \sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{36} $.
Таким образом, $ 5 < \sqrt{27} < 6 $.
Ответ: между 5 и 6.

г) Для числа $ \sqrt{150} $ ищем целое число $ n $, для которого $ n^2 < 150 < (n+1)^2 $.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $ 12^2 = 144 $ и $ 13^2 = 169 $.
Поскольку $ 144 < 150 < 169 $, то $ \sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169} $.
Следовательно, $ 12 < \sqrt{150} < 13 $.
Ответ: между 12 и 13.

д) Для числа $ \sqrt{200} $ ищем целое число $ n $, для которого $ n^2 < 200 < (n+1)^2 $.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $ 14^2 = 196 $ и $ 15^2 = 225 $.
Из неравенства $ 196 < 200 < 225 $ следует, что $ \sqrt{196} < \sqrt{200} < \sqrt{225} $.
Таким образом, $ 14 < \sqrt{200} < 15 $.
Ответ: между 14 и 15.

е) Для числа $ \sqrt{480} $ ищем целое число $ n $, для которого $ n^2 < 480 < (n+1)^2 $.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $ 21^2 = 441 $ и $ 22^2 = 484 $.
Поскольку $ 441 < 480 < 484 $, то $ \sqrt{441} < \sqrt{480} < \sqrt{484} $.
Следовательно, $ 21 < \sqrt{480} < 22 $.
Ответ: между 21 и 22.