Номер 2.33, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.33, страница 71.

Условие.

2.33 На каждом рисунке (рис. 2.6) укажите отрезок между двумя соседними делениями, которому принадлежит число: $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$.

Рис. 2.6

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какому отрезку между двумя соседними делениями принадлежит каждое из чисел, необходимо оценить их значения, сравнив их с числами на делениях координатной прямой. Для этого удобно сравнивать не сами иррациональные числа, а их квадраты с квадратами чисел на делениях.

$\sqrt{5}$

1. Для первой координатной прямой (с целыми делениями).

Найдем два последовательных целых числа, между которыми заключено число $\sqrt{5}$. Для этого сравним квадрат числа 5 с квадратами целых чисел: $2^2 = 4$
$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 5 < 9$, то справедливо и неравенство для корней: $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, откуда получаем $2 < \sqrt{5} < 3$.
Следовательно, на первой прямой число $\sqrt{5}$ принадлежит отрезку [2, 3].

2. Для второй координатной прямой (с делениями через 0,1).

Найдем два последовательных числа с шагом 0,1, между которыми находится $\sqrt{5}$. Мы уже знаем, что оно лежит между 2 и 3. Проверим числа из этого диапазона:
$2,2^2 = 4,84$
$2,3^2 = 5,29$

Так как $4,84 < 5 < 5,29$, то $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$.
Следовательно, на второй прямой число $\sqrt{5}$ принадлежит отрезку [2.2, 2.3].

Ответ: на первом рисунке число $\sqrt{5}$ принадлежит отрезку [2, 3]; на втором — отрезку [2.2, 2.3].

$\sqrt{6}$

1. Для первой координатной прямой.

Сравним квадрат числа 6 с квадратами целых чисел:
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 6 < 9$, то $2 < \sqrt{6} < 3$.
Следовательно, на первой прямой число $\sqrt{6}$ принадлежит отрезку [2, 3].

2. Для второй координатной прямой.

Проверим числа из диапазона от 2 до 3 с шагом 0,1:
$2,4^2 = 5,76$
$2,5^2 = 6,25$

Так как $5,76 < 6 < 6,25$, то $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$.
Следовательно, на второй прямой число $\sqrt{6}$ принадлежит отрезку [2.4, 2.5].

Ответ: на первом рисунке число $\sqrt{6}$ принадлежит отрезку [2, 3]; на втором — отрезку [2.4, 2.5].

$\sqrt{7}$

1. Для первой координатной прямой.

Сравним квадрат числа 7 с квадратами целых чисел:
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$

Поскольку $4 < 7 < 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$.
Следовательно, на первой прямой число $\sqrt{7}$ принадлежит отрезку [2, 3].

2. Для второй координатной прямой.

Проверим числа из диапазона от 2 до 3 с шагом 0,1:
$2,6^2 = 6,76$
$2,7^2 = 7,29$

Так как $6,76 < 7 < 7,29$, то $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$.
Следовательно, на второй прямой число $\sqrt{7}$ принадлежит отрезку [2.6, 2.7].

Ответ: на первом рисунке число $\sqrt{7}$ принадлежит отрезку [2, 3]; на втором — отрезку [2.6, 2.7].