Номер 2.34, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.34, страница 71.

Условие.

2.34 а) Каждое из чисел $\sqrt{12}$, $\sqrt{19}$, $\sqrt{28}$ соотнесите с соответствующей ему точкой координатной прямой (рис. 2.7).

Рис. 2.7

б) На координатной прямой (рис. 2.8) точками K и L отмечены два из следующих чисел: $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{0.4}$. Какое число соответствует точке K и какое — точке L?

Рис. 2.8

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы соотнести числа $ \sqrt{12} $, $ \sqrt{19} $, $ \sqrt{28} $ с точками на координатной прямой, оценим их значения. Для этого найдем, между какими целыми числами они находятся.

1. Для числа $ \sqrt{12} $:
Известно, что $ 3^2 = 9 $ и $ 4^2 = 16 $.
Поскольку $ 9 < 12 < 16 $, то $ \sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16} $, а это значит $ 3 < \sqrt{12} < 4 $.
На координатной прямой в этом интервале расположена только точка B. Следовательно, числу $ \sqrt{12} $ соответствует точка B.

2. Для числа $ \sqrt{19} $:
Известно, что $ 4^2 = 16 $ и $ 5^2 = 25 $.
Поскольку $ 16 < 19 < 25 $, то $ \sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25} $, а это значит $ 4 < \sqrt{19} < 5 $.
В этом интервале расположены точки C и D. Так как число 19 находится ближе к 16, чем к 25 ($ 19 - 16 = 3 $, а $ 25 - 19 = 6 $), то и $ \sqrt{19} $ будет находиться ближе к 4, чем к 5. Этому условию соответствует точка C.

3. Для числа $ \sqrt{28} $:
Известно, что $ 5^2 = 25 $ и $ 6^2 = 36 $.
Поскольку $ 25 < 28 < 36 $, то $ \sqrt{25} < \sqrt{28} < \sqrt{36} $, а это значит $ 5 < \sqrt{28} < 6 $.
На координатной прямой в этом интервале расположена только точка E. Следовательно, числу $ \sqrt{28} $ соответствует точка E.

Ответ: $ \sqrt{12} $ — точка B, $ \sqrt{19} $ — точка C, $ \sqrt{28} $ — точка E.

б)

Чтобы определить, какие числа из набора $ \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{0.4} $ соответствуют точкам K и L, оценим приближенные значения этих чисел.

1. $ \sqrt{3} $: так как $ 1^2 = 1 $ и $ 2^2 = 4 $, то $ 1 < \sqrt{3} < 2 $. Приближенное значение $ \sqrt{3} \approx 1.73 $.

2. $ \sqrt{5} $: так как $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $, то $ 2 < \sqrt{5} < 3 $. Поскольку 5 ближе к 4, $ \sqrt{5} $ будет ближе к 2. Приближенное значение $ \sqrt{5} \approx 2.24 $.

3. $ \sqrt{7} $: так как $ 2^2 = 4 $ и $ 3^2 = 9 $, то $ 2 < \sqrt{7} < 3 $. Поскольку 7 ближе к 9, $ \sqrt{7} $ будет ближе к 3. Приближенное значение $ \sqrt{7} \approx 2.65 $.

4. $ \sqrt{0.4} $: так как $ 0^2 = 0 $ и $ 1^2 = 1 $, то $ 0 < \sqrt{0.4} < 1 $. Приближенное значение $ \sqrt{0.4} \approx 0.63 $.

Теперь соотнесем эти значения с точками на координатной прямой (рис. 2.8).
Точка K находится в промежутке между 1 и 2. Из предложенных чисел только $ \sqrt{3} $ попадает в этот интервал. Значит, точке K соответствует число $ \sqrt{3} $.

Точка L находится в промежутке между 2 и 3. В этот интервал попадают два числа: $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{7} $.
На рисунке видно, что точка L расположена ближе к 2, чем к 3 (левее середины отрезка [2, 3]).
Значение $ \sqrt{5} \approx 2.24 $ находится ближе к 2.
Значение $ \sqrt{7} \approx 2.65 $ находится ближе к 3.
Следовательно, точке L соответствует число $ \sqrt{5} $.

Ответ: точке K соответствует число $ \sqrt{3} $, точке L — число $ \sqrt{5} $.