Номер 2.40, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.40, страница 73.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.40–2.41)

2.40 а) Площадь S круга с радиусом r (рис. 2.10) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Выразите из этой формулы радиус r.

б) Запишите формулу для вычисления площади круга S по его диаметру d. Выразите из этой формулы диаметр d.

Рис. 2.10

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходная формула для площади круга: $S = \pi r^2$. Чтобы выразить из этой формулы радиус $r$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования.

1. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы изолировать множитель $r^2$:
$r^2 = \frac{S}{\pi}$

2. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус $r$ — это длина, он не может быть отрицательным, поэтому мы берем только положительное значение корня:
$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

б) Сначала запишем формулу для вычисления площади круга $S$ через его диаметр $d$. Мы знаем, что диаметр круга в два раза больше его радиуса, то есть $d = 2r$. Отсюда можно выразить радиус через диаметр: $r = \frac{d}{2}$.

Подставим это выражение для радиуса в исходную формулу площади $S = \pi r^2$:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$
Возведем дробь в квадрат: $S = \pi \frac{d^2}{4}$ или $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Это и есть формула площади круга, выраженная через его диаметр.

Теперь выразим из полученной формулы $S = \frac{\pi d^2}{4}$ диаметр $d$.

1. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4S = \pi d^2$

2. Разделим обе части на $\pi$, чтобы изолировать $d^2$:
$d^2 = \frac{4S}{\pi}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Диаметр $d$ также является положительной величиной, поэтому берем арифметический корень:
$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$

Эту формулу также можно записать в виде $d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

Ответ: Формула площади через диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Формула для выражения диаметра: $d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$.