Номер 2.46, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.46, страница 74.

Условие.

2.46 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) Объём V конуса (рис. 2.12) вычисляется по формуле

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Выразите из этой формулы высоту H и радиус основания R.

б) Объём V шарового сектора (рис. 2.13) вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$. Выразите из этой формулы высоту сегмента h и радиус шара R.

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Дана формула для объёма конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Требуется выразить высоту $H$ и радиус основания $R$.

1. Выразим высоту H.

Для того чтобы выразить $H$, нужно изолировать эту переменную в одной части уравнения.

Исходное уравнение: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Сначала умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3V = \pi R^2 H$

Теперь разделим обе части на $\pi R^2$ (при условии, что $R \neq 0$):

$\frac{3V}{\pi R^2} = H$

Таким образом, формула для высоты: $H = \frac{3V}{\pi R^2}$.

2. Выразим радиус основания R.

Вернемся к уравнению $3V = \pi R^2 H$. Теперь нам нужно изолировать $R$.

Сначала выразим $R^2$, разделив обе части уравнения на $\pi H$ (при условии, что $H \neq 0$):

$\frac{3V}{\pi H} = R^2$

Чтобы найти $R$, извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как радиус является геометрической величиной, он может быть только положительным, поэтому мы рассматриваем только арифметический корень:

$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

Ответ: $H = \frac{3V}{\pi R^2}$; $R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

б)

Дана формула для объёма шарового сектора: $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$. Требуется выразить высоту сегмента $h$ и радиус шара $R$.

1. Выразим высоту сегмента h.

Исходное уравнение: $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$.

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3V = 2\pi R^2 h$

Теперь, чтобы выразить $h$, разделим обе части на $2\pi R^2$ (при $R \neq 0$):

$\frac{3V}{2\pi R^2} = h$

Таким образом, формула для высоты сегмента: $h = \frac{3V}{2\pi R^2}$.

2. Выразим радиус шара R.

Используем преобразованное уравнение $3V = 2\pi R^2 h$.

Чтобы выразить $R$, сначала изолируем $R^2$, разделив обе части на $2\pi h$ (при $h \neq 0$):

$\frac{3V}{2\pi h} = R^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Радиус шара $R$ — положительная величина, поэтому берем только положительное значение корня:

$R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}$

Ответ: $h = \frac{3V}{2\pi R^2}$; $R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}$