Номер 3, страница 77 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 77.

Условие.

Разберите способ построения отрезков с длинами, равными $\sqrt{n}$, где $n$ – натуральное число (фрагмент 2). Постройте этим способом отрезки длиной $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$.

Решение 4.

Способ построения отрезков с длинами, равными $\sqrt{n}$, где $n$ — натуральное число, основан на последовательном построении прямоугольных треугольников и применении теоремы Пифагора. Этот метод также известен как «Спираль Феодора».

Общий принцип заключается в следующем: для построения отрезка длиной $\sqrt{n}$, необходимо иметь отрезок длиной $\sqrt{n-1}$. Затем строится прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $\sqrt{n-1}$ и 1. Согласно теореме Пифагора, гипотенуза такого треугольника будет иметь длину $\sqrt{(\sqrt{n-1})^2 + 1^2} = \sqrt{n-1+1} = \sqrt{n}$.

Процесс начинается с прямоугольного треугольника с катетами длиной 1, гипотенуза которого равна $\sqrt{2}$.

Построение отрезка длиной $\sqrt{3}$

1. Выберем единичный отрезок. Построим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1. Его гипотенуза, согласно теореме Пифагора, будет равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. Теперь построим второй прямоугольный треугольник. Один его катет — это гипотенуза предыдущего треугольника (отрезок длиной $\sqrt{2}$), а второй катет — единичный отрезок, построенный перпендикулярно первому.

3. Гипотенуза этого нового треугольника будет иметь длину $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: Полученная гипотенуза второго треугольника является искомым отрезком длиной $\sqrt{3}$.

Построение отрезка длиной $\sqrt{5}$

Для построения отрезка $\sqrt{5}$ необходимо продолжить начатый процесс.

1. Мы уже получили отрезок длиной $\sqrt{3}$. Используем его как катет для построения следующего прямоугольного треугольника, второй катет которого равен 1.

2. Длина гипотенузы этого треугольника будет равна $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

3. Теперь используем полученный отрезок длиной 2 как катет для следующего прямоугольного треугольника, второй катет которого также равен 1.

4. Гипотенуза этого треугольника будет иметь искомую длину: $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Ответ: Гипотенуза последнего построенного треугольника является искомым отрезком длиной $\sqrt{5}$.

Построение отрезка длиной $\sqrt{7}$

Продолжаем построение спирали от отрезка длиной $\sqrt{5}$.

1. Используя отрезок длиной $\sqrt{5}$ в качестве катета, строим на нем прямоугольный треугольник со вторым катетом, равным 1.

2. Гипотенуза этого треугольника будет равна $\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}$.

3. Далее, используя полученный отрезок длиной $\sqrt{6}$ как катет, строим следующий прямоугольный треугольник, второй катет которого снова равен 1.

4. Гипотенуза этого последнего треугольника будет иметь длину $\sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}$.

Ответ: Гипотенуза последнего построенного треугольника является искомым отрезком длиной $\sqrt{7}$.