Номер 2.44, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.44, страница 73.

Условие.

2.44 Укажите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами:

а) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$;

г) 1 и $\sqrt{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти рациональное число между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, можно возвести эти числа в квадрат. Получим $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Теперь задача сводится к тому, чтобы найти такое рациональное число $q$, квадрат которого будет находиться между 2 и 3. То есть, должно выполняться неравенство $2 < q^2 < 3$. Возьмем, к примеру, рациональное число 1,5. Оно является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{2}$. Проверим, выполняется ли для него условие: $(1,5)^2 = 2,25$. Неравенство $2 < 2,25 < 3$ является верным. Следовательно, $\sqrt{2} < 1,5 < \sqrt{3}$, и число 1,5 является подходящим рациональным числом.
Ответ: 1,5.

б) Найдем рациональное число, заключенное между $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Возведем границы интервала в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$. Нам нужно найти рациональное число $q$, для которого выполняется условие $3 < q^2 < 5$. Между числами 3 и 5 находится целое число 4, которое является полным квадратом: $4 = 2^2$. Поскольку $3 < 4 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{5}$, что равносильно $\sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}$. Число 2 является рациональным (его можно записать как дробь $\frac{2}{1}$), поэтому оно удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 2.

в) Требуется указать рациональное число между $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$. Возведем числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Ищем рациональное число $q$ такое, что $5 < q^2 < 7$. Между 5 и 7 нет целых чисел, являющихся полными квадратами. Попробуем найти квадрат дробного числа. Возьмем число 2,5. Оно рациональное, так как $2,5 = \frac{5}{2}$. Найдем его квадрат: $(2,5)^2 = 6,25$. Проверяем неравенство: $5 < 6,25 < 7$. Неравенство верно. Таким образом, $\sqrt{5} < 2,5 < \sqrt{7}$, и 2,5 является искомым числом.
Ответ: 2,5.

г) Найдем рациональное число между 1 и $\sqrt{2}$. Возведем числа в квадрат: $1^2 = 1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Нам нужно найти рациональное число $q$ такое, что $1 < q^2 < 2$. Возьмем, например, рациональное число 1,4. Оно рационально, так как $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$. Возведем его в квадрат: $(1,4)^2 = 1,96$. Проверяем неравенство: $1 < 1,96 < 2$. Неравенство верное. Значит, $1 < 1,4 < \sqrt{2}$, и 1,4 является одним из возможных ответов.
Ответ: 1,4.