Номер 2.47, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.47, страница 74.

Условие.

2.47 ИССЛЕДУЕМ Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также является делителем.

Рис. 2.13

1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.

2) Приведите пример натурального числа a, делителем которого является число $\sqrt{a}$.

3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа a меньше $\sqrt{a}$, то другой — больше $\sqrt{a}$.

4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа a? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Используем метод парных делителей для нахождения всех делителей указанных чисел. Для каждого делителя $d$ числа $a$ существует парный ему делитель $a/d$.

Для числа 18:
Находим пары делителей, произведение которых равно 18.
$1 \cdot 18 = 18 \implies$ пара (1, 18)
$2 \cdot 9 = 18 \implies$ пара (2, 9)
$3 \cdot 6 = 18 \implies$ пара (3, 6)
Следующий по возрастанию делитель — 6, но он уже найден в паре. Это означает, что все делители найдены.
Делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Для числа 36:
Находим пары делителей, произведение которых равно 36.
$1 \cdot 36 = 36 \implies$ пара (1, 36)
$2 \cdot 18 = 36 \implies$ пара (2, 18)
$3 \cdot 12 = 36 \implies$ пара (3, 12)
$4 \cdot 9 = 36 \implies$ пара (4, 9)
$6 \cdot 6 = 36 \implies$ пара (6, 6)
Следующий делитель 9 уже найден, поэтому перебор окончен.
Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Для числа 50:
Находим пары делителей, произведение которых равно 50.
$1 \cdot 50 = 50 \implies$ пара (1, 50)
$2 \cdot 25 = 50 \implies$ пара (2, 25)
$5 \cdot 10 = 50 \implies$ пара (5, 10)
Следующий делитель 10 уже найден, перебор можно завершать.
Делители: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Ответ: Делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Делители числа 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Делители числа 50: {1, 2, 5, 10, 25, 50}.

2) Требуется привести пример натурального числа $a$, для которого число $\sqrt{a}$ является его делителем.Для того чтобы $\sqrt{a}$ было делителем числа $a$, необходимо, чтобы частное от деления $a$ на $\sqrt{a}$ было целым числом.Рассмотрим это частное: $\frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$.Таким образом, частное равно $\sqrt{a}$. Чтобы это частное было целым (и, следовательно, $\sqrt{a}$ было делителем $a$), само число $\sqrt{a}$ должно быть натуральным.Это возможно только в том случае, если $a$ является полным квадратом некоторого натурального числа.Например, выберем $a=16$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{16} = 4$. Число 4 является натуральным, и оно является делителем 16, так как $16 \div 4 = 4$.

Ответ: $a=16$. Другие примеры: 4, 9, 25, 36 и любой другой полный квадрат натурального числа.

3) Пусть $a$ — натуральное число. Пусть $d_1$ и $d_2$ — это пара делителей числа $a$, так что их произведение равно $a$, то есть $d_1 \cdot d_2 = a$.Предположим, что один из делителей, например $d_1$, меньше $\sqrt{a}$. Запишем это как неравенство: $d_1 < \sqrt{a}$.Нужно доказать, что второй делитель, $d_2$, будет больше $\sqrt{a}$.Из равенства $d_1 \cdot d_2 = a$ выразим $d_2$: $d_2 = \frac{a}{d_1}$.Теперь воспользуемся исходным неравенством $d_1 < \sqrt{a}$. Так как $d_1$ — натуральный делитель, $d_1 > 0$. Мы можем разделить число $a$ на обе части этого неравенства. Поскольку функция $f(x) = a/x$ является убывающей для $x>0$, при делении на члены неравенства знак неравенства изменится на противоположный:$\frac{a}{d_1} > \frac{a}{\sqrt{a}}$.Зная, что $d_2 = \frac{a}{d_1}$ и $\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$, получаем:$d_2 > \sqrt{a}$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено. Если $d_1 \cdot d_2 = a$ и $d_1 < \sqrt{a}$, то $d_2 = a/d_1 > a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$, следовательно, $d_2 > \sqrt{a}$.

4) Как было показано в пункте 3), для любой пары различных делителей $(d_1, d_2)$ числа $a$ один из них меньше $\sqrt{a}$, а другой — больше $\sqrt{a}$. Если же $a$ является полным квадратом, то существует делитель $d = \sqrt{a}$, который образует пару с самим собой.Это означает, что, найдя все делители числа $a$, которые не превышают $\sqrt{a}$, мы автоматически найдем и все остальные делители (как парные к уже найденным).Поэтому для нахождения всех делителей числа $a$ достаточно проверить все натуральные числа от 1 до целой части от $\sqrt{a}$, то есть до $\lfloor\sqrt{a}\rfloor$.

Для числа 144:
$\sqrt{144} = 12$. Так как 12 — целое число, перебор следует осуществлять для всех натуральных чисел от 1 до 12.

Для числа 238:
Оценим $\sqrt{238}$. Мы знаем, что $15^2 = 225$ и $16^2 = 256$.Значит, $15 < \sqrt{238} < 16$.Целая часть от $\sqrt{238}$ равна $\lfloor\sqrt{238}\rfloor = 15$.Следовательно, перебор следует осуществлять для всех натуральных чисел от 1 до 15.

Ответ: Для нахождения всех делителей числа $a$ перебор можно ограничить натуральными числами от 1 до $\lfloor\sqrt{a}\rfloor$. Для числа 144 перебор нужно вести до 12, для числа 238 — до 15.