Номер 2.9, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Задача о нахождении стороны квадрата. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.9, страница 65.

Условие.

2.9 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Известно, что $\sqrt{x} = m$. Какое равенство верно?

1) $x^2 = m^2$

2) $x = \sqrt{m}$

3) $x^2 = m$

4) $x = m^2$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано исходное равенство $\sqrt{x} = m$. Наша задача — найти, какое из предложенных равенств является его прямым следствием.

По определению арифметического квадратного корня, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Результат извлечения корня также должен быть неотрицательным, следовательно, $m \ge 0$.

Чтобы выразить переменную $x$, необходимо избавиться от знака корня. Для этого можно возвести в квадрат обе части равенства. Так как обе части ($ \sqrt{x} $ и $m$) являются неотрицательными, это преобразование будет равносильным.

Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = m^2$

По свойству квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого $x \ge 0$. Таким образом, мы получаем:
$x = m^2$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

1) $x^2 = m^2$
Это равенство неверно. Если мы подставим в него полученное нами верное равенство $x = m^2$, то получим $(m^2)^2 = m^2$, что преобразуется в $m^4 = m^2$. Данное уравнение справедливо только для частных случаев, когда $m=0$ или $m=1$ (поскольку $m \ge 0$), но не для всех возможных значений $m$.

2) $x = \sqrt{m}$
Это равенство неверно. Оно противоречит полученному нами равенству $x = m^2$. Равенство $m^2 = \sqrt{m}$ также выполняется только для частных случаев $m=0$ и $m=1$.

3) $x^2 = m$
Это равенство неверно. Подставив в него $x = m^2$, мы получим $(m^2)^2 = m$, что дает $m^4 = m$. Это уравнение также справедливо только при $m=0$ и $m=1$.

4) $x = m^2$
Это равенство полностью совпадает с результатом, который мы получили путем равносильного преобразования исходного уравнения. Следовательно, это верное равенство.

Ответ: 4