Номер 2, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 112.

Условие.

2 Известно, что $\sqrt{a} = b$. Какое из следующих равенств верно?

1) $a^2 = b$

2) $a^2 = b^2$

3) $a = b^2$

4) $a = \sqrt{b}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Нам дано равенство $\sqrt{a} = b$. Чтобы определить, какое из предложенных равенств является верным, необходимо выразить переменную $a$ через $b$ из исходного уравнения.

По определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a} = b$ справедливо, если $b$ — это неотрицательное число ($b \ge 0$), квадрат которого равен $a$. Также, по определению корня, подкоренное выражение не может быть отрицательным ($a \ge 0$).

Чтобы выразить $a$, возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$(\sqrt{a})^2 = b^2$

Поскольку возведение в квадрат является операцией, обратной извлечению квадратного корня, левая часть упрощается:

$a = b^2$

Теперь сравним полученное нами верное равенство с вариантами ответа.

1) $a^2 = b$

Это равенство неверно. Если мы подставим в него $a = b^2$, получим $(b^2)^2 = b$, или $b^4 = b$. Это уравнение верно только для $b=0$ и $b=1$, но не для всех возможных значений.

2) $a^2 = b^2$

Это равенство неверно. Подставив $a = b^2$, получим $(b^2)^2 = b^2$, или $b^4 = b^2$. Это уравнение верно только для $b=0$, $b=1$ (и $b=-1$, но $b$ не может быть отрицательным), но не для всех случаев.

3) $a = b^2$

Это равенство полностью совпадает с тем, которое мы вывели из исходного условия. Следовательно, оно является верным. Для примера, если $a=9$, то $b = \sqrt{9} = 3$. Проверяем равенство: $9 = 3^2$, что верно.

4) $a = \sqrt{b}$

Это равенство неверно. Подставив $a = b^2$, получим $b^2 = \sqrt{b}$. Это уравнение также не является тождеством.

Таким образом, единственным верным равенством, вытекающим из условия $\sqrt{a} = b$, является $a = b^2$.

Ответ: 3