Номер 16, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Глава 2. Квадратные корни - номер 16, страница 111.

Условие.

16 Упростите выражение:

а) $3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$;

б) $(1 + \sqrt{3})^2$;

в) $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{20} - 3\sqrt{45} + 4\sqrt{5}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в первом и втором слагаемых, чтобы привести все слагаемые к общему виду.
Разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:
$3 \cdot (2\sqrt{5}) - 3 \cdot (3\sqrt{5}) + 4\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$
Так как все слагаемые теперь содержат общий множитель $\sqrt{5}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(6 - 9 + 4)\sqrt{5} = (-3 + 4)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5}$
Ответ: $\sqrt{5}$

б) Для упрощения выражения $(1 + \sqrt{3})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
Выполним вычисления:
$1^2 = 1$
$2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Соберем все вместе:
$1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$
Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$

в) Для упрощения выражения $(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{7}$ и $b = 2$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - 2^2$
Выполним вычисления:
$(\sqrt{7})^2 = 7$
$2^2 = 4$
Найдем разность:
$7 - 4 = 3$
Ответ: 3