Номер 12, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Функция у =k/x и её график. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 12, страница 46.

Условие.

12. Напишите уравнение какой-либо прямой, которая с гиперболой

$y = -\frac{5}{x}$:

а) имеет одну общую точку:

б) имеет две общие точки:

в) не имеет общих точек:

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить количество точек пересечения прямой и гиперболы, необходимо решить систему уравнений. Уравнение прямой в общем виде — $y = kx + b$. Уравнение гиперболы дано: $y = -\frac{5}{x}$.

Приравнивая выражения для $y$, получаем: $kx + b = -\frac{5}{x}$

Поскольку для гиперболы $x \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $kx^2 + bx = -5$

$kx^2 + bx + 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его действительных корней соответствует количеству точек пересечения прямой и гиперболы. Количество корней зависит от коэффициентов $k$ и $b$.

а) имеет одну общую точку:
Прямая и гипербола будут иметь одну общую точку в двух случаях:
1. Если прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы. В этом случае квадратное уравнение $kx^2 + bx + 5 = 0$ должно иметь один корень, что происходит, когда его дискриминант $D = b^2 - 4 \cdot k \cdot 5 = b^2 - 20k$ равен нулю.
2. Если прямая параллельна одной из осей координат (и не является асимптотой). Это более простой случай.
Рассмотрим горизонтальную прямую $y = c$. Это соответствует случаю $k=0$ в уравнении $y = kx + b$.
Подставим $y=c$ в уравнение гиперболы:
$c = -\frac{5}{x}$
Отсюда $x = -\frac{5}{c}$.
Если выбрать любое ненулевое значение для $c$, например $c=1$, мы получим единственное решение для $x$: $x = -5$. Таким образом, прямая $y=1$ пересекает гиперболу в одной точке $(-5, 1)$.
Ответ: $y=1$

б) имеет две общие точки:
Чтобы у прямой и гиперболы было две общие точки, квадратное уравнение $kx^2 + bx + 5 = 0$ должно иметь два различных действительных корня. Это происходит, когда его дискриминант $D = b^2 - 20k$ строго больше нуля ($D > 0$).
Рассмотрим простой случай прямой, проходящей через начало координат, то есть $y = kx$. В этом случае $b=0$.
Условие $D > 0$ принимает вид $0^2 - 20k > 0$, то есть $-20k > 0$.
Разделив неравенство на $-20$, меняем знак: $k < 0$.
Значит, любая прямая, проходящая через начало координат с отрицательным угловым коэффициентом, пересечет гиперболу в двух точках.
Выберем, например, $k=-1$. Уравнение прямой: $y = -x$.
Проверим: $-\frac{5}{x} = -x \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}$. Два решения — две точки пересечения.
Ответ: $y=-x$

в) не имеет общих точек:
Чтобы у прямой и гиперболы не было общих точек, квадратное уравнение $kx^2 + bx + 5 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это происходит, когда его дискриминант $D = b^2 - 20k$ отрицателен ($D < 0$).
Другой простой способ — выбрать прямую, которая является асимптотой гиперболы. У гиперболы $y = -\frac{5}{x}$ две асимптоты: ось $x$ (уравнение $y=0$) и ось $y$ (уравнение $x=0$).
Рассмотрим прямую $y=0$. Подставим в уравнение гиперболы: $0 = -\frac{5}{x}$. Это уравнение не имеет решений. Следовательно, прямая $y=0$ не пересекает гиперболу.
В качестве другого примера можно взять прямую $y=x$. Для нее $k=1, b=0$. Дискриминант $D = 0^2 - 20 \cdot 1 = -20 < 0$. Корней нет. Геометрически ветви гиперболы находятся во II и IV квадрантах, а прямая $y=x$ — в I и III, поэтому они не пересекаются.
Ответ: $y=0$