Номер 1, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 1, страница 50.

Условие.

1. Верно ли высказывание:

а) если $a \in N$, то $a \in Z$;

б) если $a \in R$, то $a \in Q$;

в) если $a \notin Z$, то $a \notin Q$;

г) если $a \notin Z$, то $a \notin N$?

При отрицательном ответе приведите контрпример.

Решение.

Решение 2.

а) Высказывание "если $a \in N$, то $a \in Z$" является верным. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ является подмножеством множества целых чисел $Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$. Это означает, что каждое натуральное число по определению входит в множество целых чисел.
Ответ: Верно.

б) Высказывание "если $a \in R$, то $a \in Q$" является неверным. Множество действительных чисел $R$ включает в себя как рациональные числа $Q$, так и иррациональные. Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Чтобы опровергнуть данное высказывание, достаточно привести контрпример.
Контрпримером является любое иррациональное число, например, $a = \sqrt{2}$. Это число является действительным ($a \in R$), но не является рациональным ($a \notin Q$).
Ответ: Неверно. Контрпример: $a = \sqrt{2}$.

в) Высказывание "если $a \in Z$, то $a \in Q$" является верным. Любое целое число $a$ можно представить в виде дроби $\frac{a}{1}$. Поскольку числитель $a$ является целым числом ($a \in Z$), а знаменатель $1$ является целым и не равен нулю, то любое целое число по определению является рациональным. Таким образом, множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$.
Ответ: Верно.

г) Высказывание "если $a \in Z$, то $a \in N$" является неверным. Множество целых чисел $Z$ включает в себя отрицательные числа и ноль, которые не входят в множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$. Для опровержения достаточно привести в качестве контрпримера любое целое, но не натуральное число.
Контрпример: число $a = -5$. Это число является целым ($a \in Z$), но не является натуральным ($a \notin N$). Другим контрпримером может служить $a = 0$.
Ответ: Неверно. Контрпример: $a = -5$.