Номер 3, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 3, страница 50.

Условие.

3. Сравните числа $a$ и $b$, если:

а) $a = 3,(62)$, $b = 3,62622622...$;

б) $a = 0,515115111...$, $b = 0,(5)$;

в) $a = 4,2(3)$, $b = 4,232332333...$;

г) $a = -2,(7)$, $b = -2,787887888....$

Решение.

Решение 2.

а) Для сравнения чисел $a = 3,(62)$ и $b = 3,626226222...$ необходимо представить их в виде бесконечных десятичных дробей и сравнить поразрядно.
Число $a$ является периодической дробью, где в периоде находится число 62. Запишем его в развернутом виде: $a = 3,62626262...$.
Число $b$ дано как $b = 3,626226222...$.
Теперь сравним эти два числа по цифрам, двигаясь слева направо:
$a = 3,626262...$
$b = 3,626226...$
Целые части и первые четыре десятичных знака у чисел совпадают (3,6262). Пятый десятичный знак у числа $a$ равен 6, а у числа $b$ равен 2. Поскольку $6 > 2$ и числа положительные, то число $a$ больше числа $b$.
Ответ: $a > b$.

б) Сравним числа $a = 0,515115111...$ и $b = 0,(5)$.
Запишем число $b$ в виде бесконечной десятичной дроби, раскрыв период: $b = 0,555555...$.
Теперь сравним числа $a$ и $b$ поразрядно:
$a = 0,515115...$
$b = 0,555555...$
Целые части и первые десятичные знаки у чисел совпадают (0,5). Второй десятичный знак у числа $a$ равен 1, а у числа $b$ равен 5. Так как $1 < 5$ и числа положительные, то число $a$ меньше числа $b$.
Ответ: $a < b$.

в) Сравним числа $a = 4,2(3)$ и $b = 4,232332333...$.
Запишем число $a$ в виде бесконечной десятичной дроби. У этой дроби есть предпериод (2) и период (3): $a = 4,233333...$.
Сравним числа $a$ и $b$ поразрядно:
$a = 4,233333...$
$b = 4,232332...$
Целые части и первые два десятичных знака у чисел совпадают (4,23). Третий десятичный знак у числа $a$ равен 3, а у числа $b$ равен 2. Так как $3 > 2$ и числа положительные, то число $a$ больше числа $b$.
Ответ: $a > b$.

г) Сравним отрицательные числа $a = -2,(7)$ и $b = -2,787887888...$.
Запишем число $a$ в виде бесконечной десятичной дроби: $a = -2,777777...$.
Чтобы сравнить два отрицательных числа, можно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше.
Сравним модули чисел $|a|$ и $|b|$:
$|a| = 2,777777...$
$|b| = 2,787887...$
Целые части и первые десятичные знаки у модулей совпадают (2,7). Второй десятичный знак у $|a|$ равен 7, а у $|b|$ равен 8. Поскольку $7 < 8$, то $|a| < |b|$.
Так как модуль числа $a$ меньше модуля числа $b$, то отрицательное число $a$ больше отрицательного числа $b$ (т.е. $a$ находится правее на числовой оси).
Ответ: $a > b$.