Номер 14, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Функция у =k/x и её график. Глава 1. Рациональные дроби. Часть 1 - номер 14, страница 47.

Условие.

14. Докажите, что гипербола $y = \frac{16}{x}$ и прямая $y = -x - 8$ имеют только одну общую точку. Найдите координаты этой точки.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти общие точки графиков функций, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. Координаты $(x, y)$ любой общей точки должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно.

Даны уравнения гиперболы и прямой:

$y = \frac{16}{x}$

$y = -x - 8$

Приравняем правые части этих уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:

$\frac{16}{x} = -x - 8$

Данное уравнение определено при $x \neq 0$, что соответствует области определения гиперболы. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$:

$16 = x(-x - 8)$

$16 = -x^2 - 8x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Количество общих точек гиперболы и прямой равно количеству действительных корней полученного квадратного уравнения. Чтобы доказать, что существует только одна общая точка, необходимо показать, что это уравнение имеет ровно один корень. Количество корней определяется значением дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 8$, $c = 16$.

Вычислим дискриминант:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это доказывает, что гипербола и прямая имеют только одну общую точку (в данном случае прямая является касательной к гиперболе).

Теперь найдем координаты этой точки. Сначала найдем единственный корень уравнения $x^2 + 8x + 16 = 0$. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы:

$(x+4)^2 = 0$

Из этого следует:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Мы нашли абсциссу общей точки. Чтобы найти ординату ($y$), подставим найденное значение $x = -4$ в любое из первоначальных уравнений. Например, подставим в уравнение прямой $y = -x - 8$:

$y = -(-4) - 8 = 4 - 8 = -4$

Следовательно, единственная общая точка гиперболы и прямой имеет координаты $(-4, -4)$.

Ответ: Уравнение для нахождения абсцисс общих точек, $x^2 + 8x + 16 = 0$, имеет дискриминант $D=0$, что доказывает наличие только одной общей точки. Координаты этой точки: $(-4, -4)$.