Номер 4, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 4, страница 51.

Условие.

4. Укажите два каких-либо положительных иррациональных числа, меньших 1.

Ответ: ................

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи требуется указать два числа, которые одновременно удовлетворяют трем условиям:
1. Число должно быть положительным (больше 0).
2. Число должно быть иррациональным (то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$).
3. Число должно быть меньше 1.

Мы можем сконструировать такие числа, используя известные иррациональные числа, например, квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами.

Первое число
Возьмем иррациональное число $\sqrt{2}$. Его приблизительное значение равно $1,414...$, что больше 1. Чтобы получить число, меньшее 1, мы можем разделить $\sqrt{2}$ на целое число, которое больше него. Например, разделим на 2.
Получим число $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Проверим, соответствует ли оно всем условиям:

• Положительность: Число $\sqrt{2}$ положительно, и 2 — положительное число, следовательно, их частное $\frac{\sqrt{2}}{2}$ также положительно.
• Иррациональность: Если предположить, что $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — рациональное число, то и результат его умножения на рациональное число 2, то есть $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = \sqrt{2}$, тоже был бы рациональным. Это противоречит тому факту, что $\sqrt{2}$ иррационально. Следовательно, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — иррациональное число.
• Меньше 1: Сравним числитель и знаменатель. Поскольку $2 < 4$, то $\sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{2} < 2$. Разделив обе части неравенства на 2, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$.

Таким образом, число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяет всем требованиям.

Второе число
Поступим аналогично с другим иррациональным числом — $\sqrt{3}$. Его приблизительное значение равно $1,732...$. Чтобы сделать его меньше 1, разделим его на целое число, которое больше него, например, на 3.
Получим число $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Проверим его:

• Положительность: Число $\sqrt{3}$ положительно, и 3 — положительное число, значит, частное $\frac{\sqrt{3}}{3}$ положительно.
• Иррациональность: По той же логике, что и для первого числа, частное от деления иррационального числа $\sqrt{3}$ на рациональное число 3 является иррациональным.
• Меньше 1: Сравним числитель и знаменатель. Поскольку $3 < 9$, то $\sqrt{3} < \sqrt{9}$, что означает $\sqrt{3} < 3$. Отсюда следует, что $\frac{\sqrt{3}}{3} < 1$.

Таким образом, число $\frac{\sqrt{3}}{3}$ также удовлетворяет всем требованиям.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$.