Номер 11, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 11, страница 52.

Условие.

11. Расположите в порядке возрастания числа:

-1,06, $5,13(6)$, 6,08, $2\pi$, $5,(4)$, 5,434334333..., $ - \pi$, $ - 3\pi$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Для этого представим каждое число в виде десятичной дроби и сравним их поочередно.

1. Преобразование чисел в десятичную форму

Приведем все числа к единому виду — десятичной дроби, используя приближенное значение для иррациональных чисел и раскрывая периодические дроби:

$-1,06$ — уже представлено в виде конечной десятичной дроби.
$5,13(6)$ — периодическая дробь, которая равна $5,13666...$
$6,08$ — конечная десятичная дробь.
$2\pi$ — иррациональное число. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получаем $2\pi \approx 2 \times 3,14159 = 6,28318...$
$5,(4)$ — периодическая дробь, равная $5,44444...$
$5,434334333...$ — иррациональное число, его запись уже дана в виде десятичной дроби.
$-\pi$ — иррациональное число, $-\pi \approx -3,14159...$
$-3\pi$ — иррациональное число, $-3\pi \approx -3 \times 3,14159 = -9,42477...$

2. Сравнение чисел

Теперь, имея десятичные представления, мы можем сравнить числа. Разделим их на отрицательные и положительные для удобства.

Отрицательные числа: $-1,06$; $-\pi \approx -3,14159...$; $-3\pi \approx -9,42477...$
При сравнении отрицательных чисел меньшим является то, чей модуль (абсолютная величина) больше.
Так как $|-3\pi| > |-\pi| > |-1,06|$, то в порядке возрастания эти числа располагаются следующим образом: $-3\pi < -\pi < -1,06$.

Положительные числа: $5,13(6) = 5,136...$; $6,08$; $2\pi \approx 6,283...$; $5,(4) = 5,444...$; $5,43433...$
Сначала выделим группу чисел с целой частью 5: $5,136...$; $5,444...$; $5,434...$
Поразрядное сравнение показывает, что $5,136...$ является наименьшим из этой группы, так как его первая цифра после запятой (1) меньше, чем у остальных (4).
Далее сравниваем $5,444...$ и $5,434...$: первая цифра после запятой у них одинакова (4). Сравниваем вторую цифру: у $5,(4)$ это 4, а у $5,43433...$ это 3. Так как $3 < 4$, то $5,434334333... < 5,(4)$.
Порядок для этой группы: $5,13(6) < 5,434334333... < 5,(4)$.
Теперь рассмотрим числа с целой частью 6: $6,08$ и $2\pi \approx 6,283...$
Очевидно, что $6,08 < 2\pi$.
Объединяя все положительные числа, получаем: $5,13(6) < 5,434334333... < 5,(4) < 6,08 < 2\pi$.

3. Итоговая последовательность

Соединив отсортированные отрицательные и положительные числа, получим итоговый ряд в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа от наименьшего к наибольшему, а затем положительные.
Ответ: $-3\pi, -\pi, -1,06, 5,13(6), 5,434334333..., 5,(4), 6,08, 2\pi$.