Номер 13, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Действительные числа. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 13, страница 52.

Условие.

13. Укажите два каких-либо иррациональных числа, заключённых между числами $2.9$ и $\pi$.

Ответ: ................

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти два иррациональных числа между 2,9 и π, сначала определим числовые значения границ. Мы имеем число 2,9 и число π (пи), которое является иррациональным и приблизительно равно $3,14159...$ Таким образом, нам нужно найти два иррациональных числа $x$, удовлетворяющих неравенству $2,9 < x < π$.

Наиболее наглядным способом является конструирование бесконечных непериодических десятичных дробей, которые лежат в заданном интервале.

1. Первое число может начинаться с 3,0, так как $2,9 < 3,0 < 3,14...$. Чтобы сделать его иррациональным, добавим к нему бесконечную последовательность цифр, которая не повторяется периодически. Например: $3,010010001...$ В этом числе количество нулей между единицами постоянно увеличивается, что гарантирует отсутствие периода.

2. Второе число может начинаться, например, с 3,1, так как $2,9 < 3,1 < 3,14...$. Построим его по такому же принципу: $3,121121112...$ Здесь количество единиц между двойками постоянно растет, что также делает дробь непериодической.

Другой математически строгий метод — использование квадратных корней. Мы можем возвести границы нашего интервала в квадрат:
$2,9^2 = 8,41$
$π^2 ≈ (3,14159...)^2 ≈ 9,8696...$
Теперь нам нужно выбрать два любых числа из интервала $(8,41; 9,8696...)$, которые не являются полными квадратами (чтобы их корень был иррациональным). Например, подойдут числа 8,5 и 9,5. Их корни, $\sqrt{8,5}$ и $\sqrt{9,5}$, будут иррациональными числами, заключенными между 2,9 и π.

Ответ: $3,010010001...$ и $3,121121112...$ (в качестве альтернативного ответа можно указать $\sqrt{8,5}$ и $\sqrt{9,5}$).