Номер 15, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Уравнение х^2=а. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 15, страница 62.

Условие.

15. Докажите, что если $a = 2mn$, $b = m^2 - n^2$, где $m$ и $n$ - целые числа, то корнями уравнения $x^2 = a^2 + b^2$ являются целые числа.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что корни уравнения $x^2 = a^2 + b^2$ являются целыми числами, подставим в него заданные выражения для $a$ и $b$, где $a = 2mn$ и $b = m^2 - n^2$, а $m$ и $n$ — целые числа.

Выразим правую часть уравнения $a^2 + b^2$ через $m$ и $n$:
$a^2 + b^2 = (2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение.
Используем формулу квадрата произведения и формулу квадрата разности:
$(2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + ((m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot n^2 + (n^2)^2)$
$= 4m^2n^2 + m^4 - 2m^2n^2 + n^4$

Приведем подобные слагаемые:
$m^4 + (4m^2n^2 - 2m^2n^2) + n^4 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4$

Полученное выражение $m^4 + 2m^2n^2 + n^4$ представляет собой полный квадрат суммы. Его можно свернуть по формуле $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, где $A=m^2$ и $B=n^2$:
$m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$

Таким образом, исходное уравнение $x^2 = a^2 + b^2$ можно переписать в виде:
$x^2 = (m^2 + n^2)^2$

Находим корни этого уравнения:
$x = \pm \sqrt{(m^2 + n^2)^2}$
$x = \pm (m^2 + n^2)$

Итак, корни уравнения: $x_1 = m^2 + n^2$ и $x_2 = -(m^2 + n^2)$.
По условию $m$ и $n$ — целые числа. Следовательно, их квадраты $m^2$ и $n^2$ также являются целыми числами. Сумма двух целых чисел ($m^2 + n^2$) является целым числом. Число, противоположное целому ($-(m^2 + n^2)$), также является целым.
Таким образом, оба корня уравнения, $x_1$ и $x_2$, являются целыми числами, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате подстановки и упрощения правая часть уравнения $a^2+b^2$ преобразуется к виду $(m^2+n^2)^2$. Уравнение $x^2=(m^2+n^2)^2$ имеет корни $x = \pm(m^2+n^2)$. Поскольку $m$ и $n$ — целые числа, то и выражение $m^2+n^2$ является целым числом. Следовательно, корни уравнения являются целыми числами.