Номер 2, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Нахождение приближённых значений квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 2, страница 62.

Условие.

2. Укажите три каких-либо значения p, при которых значение выражения $\sqrt{2p+1}$ является:

а) рациональным числом: ..................

б) иррациональным числом: ..................

Решение.

Решение 2.

а) рациональным числом:
Чтобы значение выражения $\sqrt{2p+1}$ было рациональным числом, необходимо, чтобы подкоренное выражение $2p+1$ являлось полным квадратом неотрицательного рационального числа. Самый простой способ — подобрать такие значения $p$, при которых $2p+1$ будет квадратом целого числа ($k^2$).
Выразим $p$ из уравнения $2p+1 = k^2$:
$2p = k^2 - 1$
$p = \frac{k^2 - 1}{2}$
Теперь подберем три значения $p$, подставляя различные целые неотрицательные значения $k$:
1. При $k=1$, $p = \frac{1^2 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$, это рациональное число.
2. При $k=3$, $p = \frac{3^2 - 1}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4$. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$, это рациональное число.
3. При $k=5$, $p = \frac{5^2 - 1}{2} = \frac{25 - 1}{2} = 12$. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 12 + 1} = \sqrt{25} = 5$, это рациональное число.
Ответ: $0; 4; 12$.

б) иррациональным числом:
Чтобы значение выражения $\sqrt{2p+1}$ было иррациональным числом, подкоренное выражение $2p+1$ должно быть положительным числом, которое не является полным квадратом. Также необходимо, чтобы $2p+1 \ge 0$, то есть $p \ge -0,5$.
Подберем такие значения $p$, чтобы $2p+1$ было равно положительным целым числам, не являющимся квадратами (например, 2, 3, 5, 6, 7 и т.д.).
1. Пусть $2p+1 = 2$. Тогда $2p=1$, и $p=0,5$. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 0,5 + 1} = \sqrt{2}$, это иррациональное число.
2. Пусть $2p+1 = 3$. Тогда $2p=2$, и $p=1$. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 1 + 1} = \sqrt{3}$, это иррациональное число.
3. Пусть $2p+1 = 5$. Тогда $2p=4$, и $p=2$. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 2 + 1} = \sqrt{5}$, это иррациональное число.
Ответ: $0,5; 1; 2$.