Номер 10, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Функция у = √х и её график. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 10, страница 69.

Условие.

10. С помощью графика функции $y=\sqrt{x}$, изображённого на рисунке, сделайте вывод о числе корней уравнения:

а) $\sqrt{x}=x$;

б) $\sqrt{x}=x+11$;

в) $\sqrt{x}=64$;

г) $\sqrt{x}=-x-6$.

Решение.

Решение 2.

Для решения уравнений графическим методом необходимо представить каждое уравнение в виде равенства двух функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Количество корней исходного уравнения будет равно количеству точек пересечения графиков этих функций. В нашем случае левая часть всех уравнений — это функция $y = \sqrt{x}$, график которой дан на рисунке.

а) $\sqrt{x} = x$
Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ (график дан) и $y_2 = x$. График функции $y_2 = x$ — это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Построим эту прямую на той же координатной плоскости. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 2)$ и так далее.
Из графика видно, что кривая $y = \sqrt{x}$ и прямая $y = x$ пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

б) $\sqrt{x} = x+11$
Рассмотрим функции $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x+11$. График функции $y_2 = x+11$ — это прямая, параллельная прямой $y=x$ и поднятая на 11 единиц вверх. Она пересекает ось $y$ в точке $(0, 11)$.
График функции $y = \sqrt{x}$ начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает медленнее, чем прямая $y = x+11$. Для любого неотрицательного $x$ значение $\sqrt{x}$ всегда будет меньше, чем $x+11$. Таким образом, графики этих функций не пересекаются.
Ответ: 0 корней.

в) $\sqrt{x} = 64$
Рассмотрим функции $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 64$. График функции $y_2 = 64$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 64)$ параллельно оси $x$.
Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \geq 0$), и её область значений — $[0, +\infty)$. Так как значение $y = 64$ попадает в область значений функции, горизонтальная прямая $y = 64$ пересечет график функции $y = \sqrt{x}$ ровно в одной точке (хотя эта точка и находится далеко за пределами изображенного на рисунке участка).
Ответ: 1 корень.

г) $\sqrt{x} = -x-6$
Рассмотрим функции $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = -x-6$. График функции $y_2 = -x-6$ — это прямая, которая пересекает оси координат в точках $(0, -6)$ и $(-6, 0)$.
Область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа ($y \geq 0$), то есть ее график лежит в верхней полуплоскости.
Для функции $y_2 = -x-6$ при $x \geq 0$ (область определения $y_1=\sqrt{x}$) значение $y_2$ всегда будет отрицательным ($y_2 \leq -6$). Это означает, что для $x \geq 0$ график этой прямой лежит в нижней полуплоскости.
Поскольку один график находится в верхней полуплоскости, а другой — в нижней, они не могут пересечься.
Ответ: 0 корней.