Номер 11, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Функция у = √х и её график. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 11, страница 69.

Условие.

11. Имеют ли общие точки графики уравнений:

а) $y=\sqrt{x}$ и $y=2x;

б) $y=\sqrt{x}$ и $y=-x-4;

в) $y=\sqrt{x}$ и $x=1;

г) $y=\sqrt{x}$ и $y=1?

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы определить, имеют ли графики уравнений $y=\sqrt{x}$ и $y=2x$ общие точки, решим систему этих уравнений. Для этого приравняем их правые части: $\sqrt{x} = 2x$. Область допустимых значений для этого уравнения: $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: $(\sqrt{x})^2 = (2x)^2$, что дает $x = 4x^2$. Перенесем все в одну часть: $4x^2 - x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(4x - 1) = 0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{4}$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой точки. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Первая общая точка — (0; 0). Если $x_2 = \frac{1}{4}$, то $y_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Вторая общая точка — $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$. Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: да, графики имеют две общие точки: (0; 0) и $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$.

б) Рассмотрим систему уравнений $y=\sqrt{x}$ и $y=-x-4$. Приравняем правые части: $\sqrt{x} = -x-4$. Область определения функции $y=\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$. Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, всегда неотрицательна (т.е. $\sqrt{x} \ge 0$). Правая часть уравнения, $-x-4$, при $x \ge 0$ всегда отрицательна. Действительно, если $x \ge 0$, то $-x \le 0$, и $-x-4 \le -4$. Равенство между неотрицательным числом и отрицательным числом невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений, и графики не имеют общих точек.
В качестве проверки можно решить уравнение алгебраически. Возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = -x-4$ в квадрат: $x = (-x-4)^2 \Rightarrow x = x^2 + 8x + 16$. Получим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 16 = 0$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет, графики не имеют общих точек.

в) Чтобы найти общие точки графиков $y=\sqrt{x}$ и $x=1$, нужно подставить значение $x$ из второго уравнения в первое. Условие $x \ge 0$ для функции $y=\sqrt{x}$ выполняется, так как $x=1$. Подставляем $x=1$ в первое уравнение: $y = \sqrt{1} = 1$. Таким образом, графики имеют одну общую точку с координатами (1; 1).

Ответ: да, графики имеют одну общую точку (1; 1).

г) Чтобы найти общие точки графиков $y=\sqrt{x}$ и $y=1$, нужно подставить значение $y$ из второго уравнения в первое. Получаем уравнение $1 = \sqrt{x}$. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $1^2 = (\sqrt{x})^2$, откуда $x=1$. Условие $x \ge 0$ выполняется. Таким образом, графики имеют одну общую точку с координатами (1; 1).

Ответ: да, графики имеют одну общую точку (1; 1).