Номер 12, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Функция у = √х и её график. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 12, страница 69.

Условие.

12. Докажите, что прямая $y = x + 0,5$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что прямая и график функции не пересекаются, нужно показать, что система уравнений, описывающих эти графики, не имеет решений.

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} y = x + 0,5 \\ y = \sqrt{x} \end{cases} $

Точки пересечения, если они существуют, должны удовлетворять обоим уравнениям. Приравняем правые части уравнений: $x + 0,5 = \sqrt{x}$

Для решения этого уравнения необходимо учесть область допустимых значений. Поскольку под знаком квадратного корня может стоять только неотрицательное число, должно выполняться условие $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности: $(x + 0,5)^2 = (\sqrt{x})^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + (0,5)^2 = x$ $x^2 + x + 0,25 = x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены: $x^2 + x - x + 0,25 = 0$ $x^2 + 0,25 = 0$

Полученное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае оно неполное: $1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0,25 = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=0$, $c=0,25$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = 0 - 1 = -1$

Так как дискриминант $D = -1$ является отрицательным числом ($D < 0$), квадратное уравнение $x^2 + 0,25 = 0$ не имеет действительных корней.

Это означает, что не существует такого действительного значения $x$, при котором $y$-координаты на прямой и на графике функции совпадали бы. Следовательно, графики не имеют общих точек.

Ответ: Уравнение, соответствующее точкам пересечения графиков, не имеет действительных корней, следовательно, прямая $y = x + 0,5$ не пересекает график функции $y = \sqrt{x}$. Что и требовалось доказать.