Номер 11, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами - номер 11, страница 24.

Условие.

11. Пусть $A$ — множество натуральных чисел, кратных 7, $B$ — множество натуральных чисел, кратных 14, $C$ — множество натуральных чисел, кратных 6. Изобразите с помощью диаграммы Эйлера соотношение между этими множествами.

Решение.

Для того чтобы изобразить соотношение между множествами A, B и C с помощью диаграммы Эйлера, необходимо последовательно проанализировать связи между ними.

Множество A — это множество натуральных чисел, кратных 7. ($A = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, ...\}$)
Множество B — это множество натуральных чисел, кратных 14. ($B = \{14, 28, 42, 56, ...\}$)
Множество C — это множество натуральных чисел, кратных 6. ($C = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...\}$)

1. Соотношение между A и B. Любое натуральное число, которое делится на 14, также делится и на 7, поскольку $14 = 7 \cdot 2$. Это означает, что каждый элемент множества B является также и элементом множества A. Таким образом, множество B является подмножеством множества A. В математической нотации это записывается как $B \subset A$.

2. Соотношение между A и C. Эти множества пересекаются. Элементы, принадлежащие обоим множествам ($A \cap C$), должны быть кратны и 7, и 6. Такие числа кратны их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку числа 6 и 7 взаимно простые, $НОК(6, 7) = 6 \cdot 7 = 42$. Следовательно, $A \cap C$ — это непустое множество натуральных чисел, кратных 42.

3. Соотношение между B и C. Пересечение $B \cap C$ состоит из натуральных чисел, кратных и 14, и 6. Найдем их НОК: $14 = 2 \cdot 7$, $6 = 2 \cdot 3$, поэтому $НОК(14, 6) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Значит, $B \cap C$ — это также множество натуральных чисел, кратных 42.

Из анализа следует, что $B \subset A$, а также что $A \cap C = B \cap C$. Пересечение всех трех множеств $A \cap B \cap C$ также является множеством чисел, кратных 42.

На основании этих выводов строится диаграмма Эйлера. Круг, обозначающий множество B, полностью находится внутри круга, обозначающего множество A. Круг, обозначающий множество C, пересекает оба круга A и B, причем область пересечения C и B является общей для всех трех множеств.

Ответ: Соотношение между множествами изображено на диаграмме Эйлера. Множество B (числа, кратные 14) является подмножеством множества A (числа, кратные 7). Множество C (числа, кратные 6) пересекается с множествами A и B. Пересечение всех трех множеств $A \cap B \cap C$ является множеством натуральных чисел, кратных 42.