Номер 3, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества - номер 3, страница 27.

Условие.

3. Отметьте в пустых клетках знаком ✓ среди данных чисел иррациональные.

1) $-\sqrt{49}$ []

2) $-1.1111$ []

3) $-\sqrt{39}$ []

4) $\sqrt{80}$ []

5) $-2.5\sqrt{100}$ []

6) $\sqrt{1000}$ []

7) $\sqrt{2\frac{7}{9}}$ []

8) $\sqrt{2\frac{8}{9}}$ []

9) $0.303303330...$ []

10) $0.330330330...$ []

11) $7.7777...$ []

12) $7,(123)$ []

Решение.

Для определения, является ли число иррациональным, необходимо проверить, можно ли его представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное. Если число можно представить в таком виде, оно является рациональным. Если нельзя - иррациональным. Иррациональные числа являются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

1) $-\sqrt{49}$
Поскольку $49 = 7^2$, то $\sqrt{49} = 7$. Таким образом, число равно $-7$. Это целое число, которое можно представить в виде дроби, например, $-\frac{7}{1}$. Следовательно, это рациональное число.
Ответ: Рациональное.

2) $-1,1111$
Это конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби: $-1,1111 = -\frac{11111}{10000}$. Следовательно, это рациональное число.
Ответ: Рациональное.

3) $-\sqrt{39}$
Число 39 не является полным квадратом какого-либо целого числа ($6^2 = 36$, $7^2 = 49$). Корень из числа, не являющегося полным квадратом, есть число иррациональное.
Ответ: Иррациональное ✓.

4) $\sqrt{80}$
Число 80 не является полным квадратом какого-либо целого числа ($8^2 = 64$, $9^2 = 81$). Следовательно, $\sqrt{80}$ — иррациональное число.
Ответ: Иррациональное ✓.

5) $-2,5\sqrt{100}$
Поскольку $100 = 10^2$, то $\sqrt{100} = 10$. Выражение принимает вид: $-2,5 \times 10 = -25$. Это целое число, значит, оно рациональное.
Ответ: Рациональное.

6) $\sqrt{1000}$
Число 1000 не является полным квадратом целого числа ($31^2 = 961$, $32^2 = 1024$). Следовательно, $\sqrt{1000}$ — иррациональное число.
Ответ: Иррациональное ✓.

7) $\sqrt{2\frac{7}{9}}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \times 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$. Тогда $\sqrt{2\frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$. Это обыкновенная дробь, следовательно, число рациональное.
Ответ: Рациональное.

8) $\sqrt{2\frac{8}{9}}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8}{9} = \frac{26}{9}$. Тогда $\sqrt{2\frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{26}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3}$. Так как 26 не является полным квадратом, $\sqrt{26}$ — иррациональное число. Деление иррационального числа на рациональное (кроме 0) дает иррациональное число.
Ответ: Иррациональное ✓.

9) $0,303303330...$
Это бесконечная десятичная дробь. Проанализируем последовательность цифр: после первой тройки идет один ноль, после второй - два, после третьей - три и т.д. В этой последовательности нет повторяющегося блока цифр (периода). Значит, это непериодическая дробь, то есть иррациональное число.
Ответ: Иррациональное ✓.

10) $0,330330330...$
В этой записи виден повторяющийся блок цифр (период) "330". Это число можно записать как $0,(330)$. Любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом.
Ответ: Рациональное.

11) $7,7777...$
Это бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом "7". Ее можно записать как $7,(7)$. Следовательно, это рациональное число (равно $7\frac{7}{9}$).
Ответ: Рациональное.

12) $7,(123)$
Запись $7,(123)$ по определению обозначает бесконечную периодическую десятичную дробь $7,123123123...$ с периодом "123". Любая периодическая дробь является рациональным числом.
Ответ: Рациональное.