Номер 1, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 1, страница 28.

Условие.

Повторяем теорию

1. Заполните пропуски.

1) Для любого _______ числа a выполняется равенство $\sqrt{a^2}$ = _______

2) Для любого _______ числа a выполняется равенство $\sqrt{a^{2n}}$ = _______

3) Для любых _______ чисел a и b таких, что a _______ 0 и b _______ 0, выполняется равенство $\sqrt{ab}$ = _______

4) Для любых _______ чисел a и b таких, что a _______ 0 и b _______ 0, выполняется равенство $\sqrt{\frac{a}{b}}$ = _______

5) Для любых _______ чисел $a_1$ и $a_2$ таких, что $a_1 > a_2$, выполняется неравенство $\sqrt{a_1}$ _______ $\sqrt{a_2}$.

Решение.

1) Квадратный корень из квадрата числа, $\sqrt{a^2}$, по определению является модулем (абсолютной величиной) этого числа. Это правило следует из того, что результат извлечения арифметического квадратного корня всегда должен быть неотрицательным числом. Если $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$), то $\sqrt{a^2} = a$. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то его квадрат $a^2$ положителен, и корень из него равен $-a$ (что является положительным числом). Оба эти случая объединяются определением модуля: $|a|$. Данное свойство справедливо для любого действительного (вещественного) числа $a$.
Ответ: Для любого действительного числа $a$ выполняется равенство $\sqrt{a^2} = |a|$.

2) Это свойство является обобщением предыдущего. Выражение $a^{2n}$ можно представить в виде квадрата другого выражения: $a^{2n} = (a^n)^2$. Применяя правило из пункта 1, где вместо $a$ теперь выступает $a^n$, получаем: $\sqrt{a^{2n}} = \sqrt{(a^n)^2} = |a^n|$. Это равенство справедливо для любого действительного числа $a$ и любого натурального числа $n$.
Ответ: Для любого действительного числа $a$ выполняется равенство $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

3) Это свойство корня из произведения. Корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел. Данное равенство справедливо, когда оба числа, $a$ и $b$, являются неотрицательными. Это необходимо, так как в области действительных чисел корень из отрицательного числа не определён. Таким образом, для выполнения равенства $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ требуется, чтобы $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: Для любых действительных чисел $a$ и $b$ таких, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, выполняется равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

4) Это свойство корня из частного (дроби). Корень из дроби равен дроби, числителем которой является корень из числителя, а знаменателем — корень из знаменателя. Для того чтобы это равенство было верным в действительных числах, необходимо, чтобы числитель $a$ был неотрицательным ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ — строго положительным ($b > 0$), так как на ноль делить нельзя.
Ответ: Для любых действительных чисел $a$ и $b$ таких, что $a \ge 0$ и $b > 0$, выполняется равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

5) Это свойство отражает монотонное возрастание функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$. Функция является возрастающей на всей своей области определения, то есть для всех неотрицательных чисел. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, если даны два неотрицательных числа $a_1$ и $a_2$ и известно, что $a_1 > a_2$, то и корень из $a_1$ будет больше корня из $a_2$.
Ответ: Для любых неотрицательных чисел $a_1$ и $a_2$ таких, что $a_1 > a_2$, выполняется неравенство $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.