Номер 3, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 3, страница 29.

Условие.

3. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{49 \cdot 16} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{16} = $

2) $\sqrt{36 \cdot 0,04 \cdot 64} = $

3) $\sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}} = $

4) $\sqrt{\frac{81}{100} \cdot \frac{4}{121}} = $

5) $\sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 2^2 \cdot $

6) $\sqrt{3^6 \cdot 7^2 \cdot 11^2} = $

Решение.

1) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{49 \cdot 16} $ воспользуемся свойством корня из произведения: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, т.е. $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ для $ a \ge 0, b \ge 0 $.

$ \sqrt{49 \cdot 16} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{16} $

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$ \sqrt{49} = 7 $

$ \sqrt{16} = 4 $

Наконец, перемножим полученные значения:

$ 7 \cdot 4 = 28 $

Ответ: 28

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения для выражения $ \sqrt{36 \cdot 0,04 \cdot 64} $.

$ \sqrt{36 \cdot 0,04 \cdot 64} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{64} $

Извлекаем корень из каждого множителя:

$ \sqrt{36} = 6 $

$ \sqrt{0,04} = \sqrt{4/100} = 0,2 $

$ \sqrt{64} = 8 $

Перемножаем результаты:

$ 6 \cdot 0,2 \cdot 8 = 1,2 \cdot 8 = 9,6 $

Ответ: 9,6

3) Для вычисления $ \sqrt{\frac{25}{169}} $ воспользуемся свойством корня из частного (дроби): корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, т.е. $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ для $ a \ge 0, b > 0 $.

$ \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}} $

Извлекаем корень из числителя и знаменателя:

$ \sqrt{25} = 5 $

$ \sqrt{169} = 13 $

Таким образом, получаем дробь:

$ \frac{5}{13} $

Ответ: $ \frac{5}{13} $

4) Для вычисления $ \sqrt{\frac{81}{100} \cdot \frac{4}{121}} $ применим последовательно свойства корня из произведения и корня из дроби.

$ \sqrt{\frac{81}{100} \cdot \frac{4}{121}} = \sqrt{\frac{81}{100}} \cdot \sqrt{\frac{4}{121}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{121}} $

Извлекаем корни и получаем произведение дробей:

$ \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{11} $

Перемножаем дроби:

$ \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 11} = \frac{18}{110} $

Сокращаем полученную дробь на 2:

$ \frac{9}{55} $

Ответ: $ \frac{9}{55} $

5) Для вычисления $ \sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2} $ воспользуемся свойством корня из произведения, а затем свойством извлечения корня из степени $ \sqrt{a^{2n}} = a^n $ для $ a \ge 0 $.

$ \sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} $

Извлекаем корень из каждого множителя в степени, поделив показатель степени на 2:

$ \sqrt{2^4} = 2^{4/2} = 2^2 = 4 $

$ \sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9 $

$ \sqrt{5^2} = 5^{2/2} = 5^1 = 5 $

Перемножаем полученные значения:

$ 4 \cdot 9 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180 $

Ответ: 180

6) Выражение $ \sqrt{3^6 \cdot 7^2 \cdot 11^2} $ вычисляется аналогично предыдущему пункту.

$ \sqrt{3^6 \cdot 7^2 \cdot 11^2} = \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{11^2} $

Извлекаем корень из каждого множителя:

$ \sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27 $

$ \sqrt{7^2} = 7^{2/2} = 7^1 = 7 $

$ \sqrt{11^2} = 11^{2/2} = 11^1 = 11 $

Перемножаем полученные значения:

$ 27 \cdot 7 \cdot 11 = 189 \cdot 11 = 2079 $

Ответ: 2079