Номер 7, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 7, страница 30.

Условие.

7. Упростите выражение:

1) $\sqrt{0,64p^2}$, если $p \le 0$;

2) $\sqrt{a^4b^6}$, если $b \ge 0$;

3) $-\frac{1}{3}x\sqrt{0,09x^{10}y^{14}}$, если $x \ge 0, y \le 0$;

4) $a^2\sqrt{a^{12}b^{35}}$, если $b \le 0$;

5) $4m^{13}\sqrt{\frac{n^2}{64m^{30}}}$, если $m > 0, n \le 0$;

6) $\frac{4a^2b^{12}}{5c}\sqrt{\frac{225a^2c^8}{b^{22}}}$, если $a \le 0, b < 0$.

Решение.

1) Имеем: $\sqrt{0,64p^2} = 0,8|p|$. Поскольку по условию $p \le 0$, то $|p| = -p$.

Следовательно, $\sqrt{0,64p^2} = 0,8|p| = 0,8(-p) = -0,8p$.

2) Имеем: $\sqrt{a^4b^6} = |a^2| \cdot |b^3|$. Поскольку $a^2 \ge 0$ при $a \in R$, то $|a^2| = a^2$.

Поскольку по условию $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$, поэтому $|b^3| = b^3$.

Следовательно, $\sqrt{a^4b^6} = |a^2| \cdot |b^3| = a^2b^3$.

Решение.

1) Упростим выражение $\sqrt{0,64p^2}$ при условии $p \le 0$.
Используя свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{0,64p^2} = \sqrt{(0,8p)^2} = |0,8p| = 0,8|p|$.
Поскольку по условию $p \le 0$, то по определению модуля $|p| = -p$.
Следовательно, $0,8|p| = 0,8(-p) = -0,8p$.
Ответ: $-0,8p$

2) Упростим выражение $\sqrt{a^4b^6}$ при условии $b \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{a^4b^6} = \sqrt{(a^2)^2(b^3)^2} = \sqrt{(a^2b^3)^2}$.
Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, имеем: $|a^2b^3| = |a^2| \cdot |b^3|$.
Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$) для любого действительного $a$, поэтому $|a^2| = a^2$.
По условию $b \ge 0$, следовательно, $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
Таким образом, выражение упрощается до $a^2b^3$.
Ответ: $a^2b^3$

3) Упростим выражение $-\frac{1}{3}x\sqrt{0,09x^{10}y^{14}}$ при условии $x \ge 0, y \le 0$.
Сначала упростим подкоренное выражение: $\sqrt{0,09x^{10}y^{14}} = \sqrt{(0,3x^5y^7)^2} = |0,3x^5y^7| = 0,3|x^5||y^7|$.
Раскроем модули с учетом условий:

• При $x \ge 0$, имеем $x^5 \ge 0$, значит $|x^5| = x^5$.
• При $y \le 0$, имеем $y^7 \le 0$, значит $|y^7| = -y^7$.

Тогда $\sqrt{0,09x^{10}y^{14}} = 0,3(x^5)(-y^7) = -0,3x^5y^7$.
Теперь умножим на множитель перед корнем:
$-\frac{1}{3}x \cdot (-0,3x^5y^7) = -\frac{1}{3}x \cdot (-\frac{3}{10}x^5y^7) = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 10} x^{1+5}y^7 = \frac{1}{10}x^6y^7 = 0,1x^6y^7$.
Ответ: $0,1x^6y^7$

4) Упростим выражение $a^2\sqrt{a^{12}b^{35}}$ при условии $b \le 0$.
Для того чтобы корень четной степени из выражения имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{12}b^{35} \ge 0$.
Поскольку $a^{12} = (a^6)^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $b^{35} \ge 0$.
Так как 35 — нечетная степень, это неравенство выполняется только при $b \ge 0$.
В то же время, по условию задачи дано, что $b \le 0$.
Единственное значение $b$, удовлетворяющее обоим условиям ($b \ge 0$ и $b \le 0$), — это $b = 0$.
Подставив $b = 0$ в исходное выражение, получаем: $a^2\sqrt{a^{12} \cdot 0^{35}} = a^2\sqrt{0} = 0$.
Ответ: $0$

5) Упростим выражение $4m^{13}\sqrt{\frac{n^2}{64m^{30}}}$ при условии $m > 0, n \le 0$.
$4m^{13}\sqrt{\frac{n^2}{64m^{30}}} = 4m^{13} \cdot \frac{\sqrt{n^2}}{\sqrt{64m^{30}}} = 4m^{13} \cdot \frac{|n|}{|8m^{15}|}$.
Раскроем модули с учетом условий:

• Поскольку $m > 0$, то $m^{15} > 0$, и $|8m^{15}| = 8m^{15}$.
• Поскольку $n \le 0$, то $|n| = -n$.

Подставляем полученные значения в выражение:
$4m^{13} \cdot \frac{-n}{8m^{15}} = -\frac{4m^{13}n}{8m^{15}} = -\frac{4n}{8m^{15-13}} = -\frac{n}{2m^2}$.
Ответ: $-\frac{n}{2m^2}$

6) Упростим выражение $\frac{4a^2b^{12}}{5c}\sqrt{\frac{225a^2c^8}{b^{22}}}$ при условии $a \le 0, b < 0$.
$\frac{4a^2b^{12}}{5c}\sqrt{\frac{225a^2c^8}{b^{22}}} = \frac{4a^2b^{12}}{5c} \cdot \frac{\sqrt{225a^2c^8}}{\sqrt{b^{22}}} = \frac{4a^2b^{12}}{5c} \cdot \frac{|15ac^4|}{|b^{11}|}$.
Раскроем модули с учетом заданных условий:

• Так как $a \le 0$, то $|a| = -a$.
• Так как $c^4 = (c^2)^2 \ge 0$ для любого $c \neq 0$, то $|c^4| = c^4$.
• Так как $b < 0$ и степень 11 нечетная, то $b^{11} < 0$, и $|b^{11}| = -b^{11}$.

Следовательно, $\frac{|15ac^4|}{|b^{11}|} = \frac{15|a||c^4|}{|b^{11}|} = \frac{15(-a)c^4}{-b^{11}} = \frac{15ac^4}{b^{11}}$.
Подставим это в исходное выражение и выполним сокращение:
$\frac{4a^2b^{12}}{5c} \cdot \frac{15ac^4}{b^{11}} = \frac{4 \cdot 15}{5} \cdot a^{2+1} \cdot b^{12-11} \cdot c^{4-1} = 4 \cdot 3 \cdot a^3 b c^3 = 12a^3bc^3$.
Ответ: $12a^3bc^3$