Номер 12, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 12, страница 33.

Условие.

12. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x^2} = 2x + 4;$

Решение.

Имеем: $2|x| = 2x + 4$.

Рассмотрим два случая.

I. $x \geq 0$.

Тогда $2x = 2x + 4$;

$0x = 4$;

$x \in \emptyset$.

II. $x < 0$.

Тогда $-2x = 2x + 4$;

Ответ:

2) $\sqrt{x^2} = 3x + 2;$

Решение.

Ответ:

3) $x + 3\sqrt{x^2} = 1;$

Решение.

Ответ:

4) $x^2 - 2x + \sqrt{x^2} = 0$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Исходное уравнение: $2\sqrt{x^2} = 2x + 4$.
Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение можно переписать в виде: $2|x| = 2x + 4$.
Разделим обе части уравнения на 2: $|x| = x + 2$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
I. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = x + 2$
$0 = 2$
Это неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ корней нет.
II. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x = x + 2$
$-2x = 2$
$x = -1$
Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: -1.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2} = 3x + 2$.
Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение можно переписать в виде: $|x| = 3x + 2$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
I. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = 3x + 2$
$-2x = 2$
$x = -1$
Найденный корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он не является решением.
II. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x = 3x + 2$
$-4x = 2$
$x = -\frac{2}{4} = -0.5$
Корень $x = -0.5$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: -0.5.

3) Исходное уравнение: $x + 3\sqrt{x^2} = 1$.
Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение можно переписать в виде: $x + 3|x| = 1$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
I. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x + 3x = 1$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$
Корень $x = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является решением.
II. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x + 3(-x) = 1$
$x - 3x = 1$
$-2x = 1$
$x = -\frac{1}{2}$
Корень $x = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является решением.
Ответ: -0.5; 0.25.

4) Исходное уравнение: $x^2 - 2x + \sqrt{x^2} = 0$.
Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, уравнение можно переписать в виде: $x^2 - 2x + |x| = 0$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
I. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2x + x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.
II. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 2x - x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = 3$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому они не являются решениями исходного уравнения.
Ответ: 0; 1.