Номер 1, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 1, страница 34.

Условие.

Решаем задачи

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = $

2) $\frac{2}{3}\sqrt{135} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 15} = $

3) $20\sqrt{0,05} = 20\sqrt{0,01 \cdot 5} = $

4) $\sqrt{575} = $

5) $0,5\sqrt{112} = $

6) $-\frac{3}{7}\sqrt{294} = $

Решение.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{108}$, разложим число 108 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. В задании уже дана подсказка: $108 = 36 \cdot 3$.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$.

2) Упростим выражение $\frac{2}{3}\sqrt{135}$. Разложим подкоренное выражение 135 на множители. Подсказка в задании: $135 = 9 \cdot 15$.
$\frac{2}{3}\sqrt{135} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 15} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{15}$.
Так как $\sqrt{9} = 3$, получаем:
$\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$.
Ответ: $2\sqrt{15}$.

3) Упростим выражение $20\sqrt{0,05}$. Разложим подкоренное выражение 0,05 на множители. Подсказка в задании: $0,05 = 0,01 \cdot 5$.
$20\sqrt{0,05} = 20\sqrt{0,01 \cdot 5} = 20 \cdot \sqrt{0,01} \cdot \sqrt{5}$.
Так как $\sqrt{0,01} = 0,1$, получаем:
$20 \cdot 0,1 \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

4) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{575}$, разложим число 575 на простые множители, чтобы найти полный квадрат.
$575 = 5 \cdot 115 = 5 \cdot 5 \cdot 23 = 25 \cdot 23$.
Теперь вынесем множитель из-под корня:
$\sqrt{575} = \sqrt{25 \cdot 23} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{23} = 5\sqrt{23}$.
Ответ: $5\sqrt{23}$.

5) Упростим выражение $0,5\sqrt{112}$. Разложим число 112 на множители, выделив полный квадрат.
$112 = 16 \cdot 7$.
Подставим это в исходное выражение:
$0,5\sqrt{112} = 0,5\sqrt{16 \cdot 7} = 0,5 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{7}$.
Так как $\sqrt{16} = 4$, получаем:
$0,5 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

6) Упростим выражение $-\frac{3}{7}\sqrt{294}$. Разложим число 294 на множители, выделив полный квадрат.
$294 = 2 \cdot 147 = 2 \cdot 3 \cdot 49$. Здесь 49 является полным квадратом ($49 = 7^2$).
Таким образом, $294 = 49 \cdot 6$.
Подставим это в исходное выражение:
$-\frac{3}{7}\sqrt{294} = -\frac{3}{7}\sqrt{49 \cdot 6} = -\frac{3}{7} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{6}$.
Так как $\sqrt{49} = 7$, получаем:
$-\frac{3}{7} \cdot 7 \cdot \sqrt{6} = -3\sqrt{6}$.
Ответ: $-3\sqrt{6}$.