Номер 8, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 8, страница 31.

Условие.

8. Постройте график функции $y = 4 - \sqrt{x^2}$.

Решение.

Имеем: $y = 4 - \sqrt{x^2} = 4 - |x|$.

Если $x \ge 0$, то $y = 4 - x$.

Если $x < 0$, то $y = 4 - (-x) = 4 + x$.

Следовательно, $y = \{$

Решение.

Решение.

Исходная функция: $y = 4 - \sqrt{x^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$. Следовательно, мы можем преобразовать данную функцию:

$y = 4 - |x|$

Теперь необходимо раскрыть модуль. Функция $y = |x|$ определяется как:$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Подставив это определение в нашу функцию, мы получим кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 4 - x, & \text{если } x \ge 0 \\ 4 - (-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Упростив второе выражение, получаем:

$y = \begin{cases} 4 - x, & \text{если } x \ge 0 \\ 4 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика нужно построить две его части:

1. График функции $y = 4 - x$ на промежутке $[0; +\infty)$. Это луч, который является частью прямой $y = -x + 4$. Найдем две точки для его построения:
   • при $x = 0$, $y = 4 - 0 = 4$. Точка $(0; 4)$.
   • при $x = 4$, $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4; 0)$.
2. График функции $y = 4 + x$ на промежутке $(-\infty; 0)$. Это луч, который является частью прямой $y = x + 4$. Найдем две точки для его построения:
   • при $x \to 0$ (слева), $y \to 4$. Начало луча совпадает с началом первого луча в точке $(0; 4)$.
   • при $x = -4$, $y = 4 + (-4) = 0$. Точка $(-4; 0)$.

Объединяя эти два луча, мы получаем искомый график. Вершина графика находится в точке $(0; 4)$.

Ответ: График функции $y = 4 - \sqrt{x^2}$ представляет собой два луча, симметричных относительно оси Oy, с общей вершиной в точке $(0; 4)$. Лучи пересекают ось Ox в точках $(-4; 0)$ и $(4; 0)$. График функции изображен на рисунке выше.