Номер 6, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 6, страница 30.

Условие.

6. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{(29 - 20) \cdot (29 + 20)} = $

2) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = $

3) $\sqrt{\frac{148^2 - 48^2}{73^2 - 48^2}} = $

Решение.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{29^2 - 20^2}$ используется формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{(29 - 20) \cdot (29 + 20)}$
Выполним действия в скобках:
$29 - 20 = 9$
$29 + 20 = 49$
Подставим полученные значения в выражение под корнем:
$\sqrt{9 \cdot 49} = \sqrt{441}$
Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{441} = 21$
Также можно было извлечь корень из каждого множителя отдельно: $\sqrt{9 \cdot 49} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{49} = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21

2) Для вычисления $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$ также применим формулу разности квадратов.
$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2) \cdot (6,8 + 3,2)}$
Выполним действия в скобках:
$6,8 - 3,2 = 3,6$
$6,8 + 3,2 = 10$
Подставим значения в выражение:
$\sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36}$
Извлечем квадратный корень:
$\sqrt{36} = 6$
Ответ: 6

3) В выражении $\sqrt{\frac{148^2 - 48^2}{73^2 - 48^2}}$ применим формулу разности квадратов для числителя и знаменателя дроби, находящейся под корнем.
Для числителя: $148^2 - 48^2 = (148 - 48) \cdot (148 + 48) = 100 \cdot 196$.
Для знаменателя: $73^2 - 48^2 = (73 - 48) \cdot (73 + 48) = 25 \cdot 121$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{100 \cdot 196}{25 \cdot 121}}$
Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\frac{\sqrt{100 \cdot 196}}{\sqrt{25 \cdot 121}} = \frac{\sqrt{100} \cdot \sqrt{196}}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{121}}$
Извлечем корни:
$\frac{10 \cdot 14}{5 \cdot 11} = \frac{140}{55}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{140 \div 5}{55 \div 5} = \frac{28}{11}$
Ответ: $\frac{28}{11}$