Номер 9, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 9, страница 32.

Условие.

9. Постройте график функции $y = \sqrt{x^2} - x + 2$.

Решение.

Решение.

Решение.

Для построения графика функции $y = \sqrt{x^2} - x + 2$ необходимо сначала упростить ее выражение.

1. Воспользуемся свойством квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$). Применив это свойство к нашей функции, получим:
$y = |x| - x + 2$.

2. Данная функция является кусочно-линейной. Для построения ее графика необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
При $x \ge 0$ модуль числа $x$ равен самому числу $x$, то есть $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x - x + 2 = 2$.
Следовательно, для всех неотрицательных значений $x$ (на оси $Oy$ и правее нее) график функции представляет собой горизонтальный луч, выходящий из точки $(0, 2)$ и идущий вправо параллельно оси абсцисс.

Случай 2: $x < 0$.
При $x < 0$ модуль числа $x$ равен противоположному ему числу, то есть $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = -x - x + 2 = -2x + 2$.
Это уравнение задает линейную функцию, графиком которой является прямая. Для $x < 0$ мы строим луч. Найдем координаты нескольких точек, чтобы построить этот луч.
- Начальная точка луча находится на оси $Oy$. Найдем ее, вычислив предел при $x \to 0$ слева: $y = -2(0) + 2 = 2$. Таким образом, луч начинается в точке $(0, 2)$.
- Возьмем любую точку с $x < 0$, например, $x = -1$:
$y = -2(-1) + 2 = 2 + 2 = 4$. Получаем точку $(-1, 4)$.
- Возьмем еще одну точку, например, $x = -2$:
$y = -2(-2) + 2 = 4 + 2 = 6$. Получаем точку $(-2, 6)$.
Таким образом, для всех $x < 0$ (левее оси $Oy$) график представляет собой луч, выходящий из точки $(0, 2)$ и проходящий через точки $(-1, 4)$ и $(-2, 6)$.

3. Построение графика.
Объединив оба случая, мы можем построить график.
- В системе координат отмечаем точку $(0, 2)$.
- Из этой точки вправо (вдоль положительного направления оси $Ox$) проводим горизонтальный луч $y=2$.
- Из этой же точки $(0, 2)$ проводим второй луч через точку $(-1, 4)$.

В результате мы получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из одной точки $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2} - x + 2$ представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей с общей начальной точкой $(0, 2)$. Для $x \ge 0$ это горизонтальный луч $y=2$. Для $x < 0$ это луч $y=-2x+2$.