Номер 4, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 4, страница 29.

Условие.

4. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{80} = \sqrt{5 \cdot 80} = \sqrt{400} =$

2) $\sqrt{0.3} \cdot \sqrt{120} =$

3) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} =$

4) $\sqrt{3.5} \cdot \sqrt{\frac{32}{63}} = \sqrt{\frac{7}{2}} \cdot \sqrt{\frac{32}{63}} =$

5) $\sqrt{6^3 \cdot 5} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 6^3} = \sqrt{6^3 \cdot 5 \cdot 5^3 \cdot 6^3} =$

6) $\sqrt{11 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{11 \cdot 2^5} =$

7) $\frac{\sqrt{294}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{294}{6}} = \sqrt{49} =$

8) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{112}} =$

9) $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5 \cdot 10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 10}{2}} =$

10) $\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{24}}{\sqrt{21}} =$

Решение.

1) Для нахождения значения выражения используем свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $. $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{80} = \sqrt{5 \cdot 80} = \sqrt{400} = 20 $.
Ответ: 20

2) Применяем свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $. $ \sqrt{0,3} \cdot \sqrt{120} = \sqrt{0,3 \cdot 120} = \sqrt{36} = 6 $.
Ответ: 6

3) Используем свойство произведения корней для трех множителей $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c} $. $ \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6 \cdot 8 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12 $.
Ответ: 12

4) Представим десятичную дробь $3,5$ в виде обыкновенной дроби $ \frac{7}{2} $ и применим свойство произведения корней. $ \sqrt{3,5} \cdot \sqrt{\frac{32}{63}} = \sqrt{\frac{7}{2}} \cdot \sqrt{\frac{32}{63}} = \sqrt{\frac{7}{2} \cdot \frac{32}{63}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 32}{2 \cdot 63}} $. Сократим дробь под корнем: $ \sqrt{\frac{\cancel{7} \cdot 16 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 9 \cdot \cancel{7}}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \frac{4}{3} $

5) Объединим множители под одним знаком корня, используя свойство произведения корней, а затем сгруппируем одинаковые основания и применим свойства степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ \sqrt{a^{2k}} = a^k $. $ \sqrt{6^3 \cdot 5} \cdot \sqrt{5^3 \cdot 6^3} = \sqrt{(6^3 \cdot 5) \cdot (5^3 \cdot 6^3)} = \sqrt{6^3 \cdot 6^3 \cdot 5^1 \cdot 5^3} = \sqrt{6^{3+3} \cdot 5^{1+3}} = \sqrt{6^6 \cdot 5^4} = 6^{6/2} \cdot 5^{4/2} = 6^3 \cdot 5^2 = 216 \cdot 25 = 5400 $.
Ответ: 5400

6) Действуем аналогично предыдущему пункту: объединяем подкоренные выражения и используем свойства степеней. $ \sqrt{11 \cdot 2^3} \cdot \sqrt{11 \cdot 2^5} = \sqrt{(11 \cdot 2^3) \cdot (11 \cdot 2^5)} = \sqrt{11^1 \cdot 11^1 \cdot 2^3 \cdot 2^5} = \sqrt{11^{1+1} \cdot 2^{3+5}} = \sqrt{11^2 \cdot 2^8} = 11^{2/2} \cdot 2^{8/2} = 11^1 \cdot 2^4 = 11 \cdot 16 = 176 $.
Ответ: 176

7) Используем свойство частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $. $ \frac{\sqrt{294}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{294}{6}} = \sqrt{49} = 7 $.
Ответ: 7

8) Применяем свойство частного корней и сокращаем полученную подкоренную дробь. $ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{112}} = \sqrt{\frac{7}{112}} = \sqrt{\frac{7}{7 \cdot 16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

9) Сначала выполним умножение в числителе, а затем применим свойство частного корней. $ \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5 \cdot 10}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 $.
Ответ: 5

10) Объединим все выражение под один знак корня, используя свойства произведения и частного корней, а затем сократим дробь, разложив числа на множители. $ \frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{24}}{\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{14 \cdot 24}{21}} = \sqrt{\frac{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 8)}{3 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{3} \cdot 8}{\cancel{3} \cdot \cancel{7}}} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 $.
Ответ: 4