Номер 5, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 5, страница 30.

Условие.

5. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{12,5 \cdot 98} = \sqrt{12,5 \cdot 2 \cdot 49} = \sqrt{25 \cdot 49} =$

2) $\sqrt{160 \cdot 8,1} = \sqrt{160 \cdot 8,1} = \sqrt{16 \cdot 10 \cdot 8,1} =$

3) $\sqrt{512 \cdot 50} =$

4) $\sqrt{39 \cdot 65 \cdot 15} =$

5) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{12 \cdot 108} = \sqrt{12 \cdot 12 \cdot 9} =$

6) $\sqrt{21} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{7} =$

Решение.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{12,5 \cdot 98}$, представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов. Для этого умножим 12,5 на 2, а 98 разделим на 2:
$\sqrt{12,5 \cdot 98} = \sqrt{(12,5 \cdot 2) \cdot (98 : 2)} = \sqrt{25 \cdot 49}$.
Так как $25 = 5^2$ и $49 = 7^2$, получаем:
$\sqrt{25 \cdot 49} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(5 \cdot 7)^2} = 5 \cdot 7 = 35$.
Ответ: 35

2) Для вычисления $\sqrt{160 \cdot 8,1}$, представим 160 как $16 \cdot 10$ и затем умножим 10 на 8,1:
$\sqrt{160 \cdot 8,1} = \sqrt{16 \cdot 10 \cdot 8,1} = \sqrt{16 \cdot (10 \cdot 8,1)} = \sqrt{16 \cdot 81}$.
Так как $16 = 4^2$ и $81 = 9^2$, получаем:
$\sqrt{16 \cdot 81} = \sqrt{4^2 \cdot 9^2} = \sqrt{(4 \cdot 9)^2} = 4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

3) Для вычисления $\sqrt{512 \cdot 50}$, разложим множители так, чтобы выделить полные квадраты:
$\sqrt{512 \cdot 50} = \sqrt{(256 \cdot 2) \cdot 50} = \sqrt{256 \cdot (2 \cdot 50)} = \sqrt{256 \cdot 100}$.
Так как $256 = 16^2$ и $100 = 10^2$, получаем:
$\sqrt{256 \cdot 100} = \sqrt{16^2 \cdot 10^2} = \sqrt{(16 \cdot 10)^2} = 16 \cdot 10 = 160$.
Ответ: 160

4) Для вычисления $\sqrt{39 \cdot 65 \cdot 15}$, разложим каждое число под корнем на простые множители:
$\sqrt{39 \cdot 65 \cdot 15} = \sqrt{(3 \cdot 13) \cdot (5 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 5)}$.
Сгруппируем одинаковые множители, чтобы получить квадраты:
$\sqrt{(3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (13 \cdot 13)} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 13^2}$.
Извлечем корень:
$\sqrt{(3 \cdot 5 \cdot 13)^2} = 3 \cdot 5 \cdot 13 = 195$.
Ответ: 195

5) Для вычисления $\sqrt{12} \cdot \sqrt{108}$, воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{12} \cdot \sqrt{108} = \sqrt{12 \cdot 108}$.
Разложим 108 на множители $12 \cdot 9$:
$\sqrt{12 \cdot (12 \cdot 9)} = \sqrt{12^2 \cdot 9}$.
Так как $9 = 3^2$, получаем произведение квадратов:
$\sqrt{12^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(12 \cdot 3)^2} = 12 \cdot 3 = 36$.
Ответ: 36

6) Для вычисления $\sqrt{21} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{7}$, объединим все под один корень:
$\sqrt{21} \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{21 \cdot 75 \cdot 7}$.
Разложим множители под корнем: $21 = 3 \cdot 7$ и $75 = 3 \cdot 25$.
$\sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 25) \cdot 7}$.
Сгруппируем одинаковые множители:
$\sqrt{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot 25} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 5^2}$.
Извлечем корень:
$\sqrt{(3 \cdot 7 \cdot 5)^2} = 3 \cdot 7 \cdot 5 = 105$.
Ответ: 105