Номер 10, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 10, страница 32.

Условие.

10. Постройте график функции $y = \frac{x}{\sqrt{x^2}} - 3$.

Решение.

Данная функция определена при $x \neq 0$.

Имеем: $y = \frac{x}{\sqrt{x^2}} - 3 = \frac{x}{|x|} - 3$.

Если $x > 0$, то $y = $

Если $x < 0$, то $y = $

Решение.

Решение.

Найдем область определения функции $y = \frac{x}{\sqrt{x^2}} - 3$. Выражение под корнем не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$, что верно для любого $x$), а знаменатель дроби не может быть равен нулю.

$\sqrt{x^2} \neq 0 \implies x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Упростим выражение для функции, используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$:

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2}} - 3 = \frac{x}{|x|} - 3$.

Теперь рассмотрим два случая, в зависимости от знака $x$, чтобы раскрыть модуль.

Если $x > 0$, то $y = $ $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Если $x < 0$, то $y = $ $|x| = -x$, и функция принимает вид:
$y = \frac{x}{-x} - 3 = -1 - 3 = -4$.

Итак, мы получили кусочно-постоянную функцию:

$y = \begin{cases} -2, & \text{если } x > 0 \\ -4, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Графиком этой функции является объединение двух открытых лучей:

• луч $y = -2$, параллельный оси Ox, для всех $x > 0$. Начало луча — точка $(0, -2)$, которая не принадлежит графику (изображается «выколотой»).
• луч $y = -4$, параллельный оси Ox, для всех $x < 0$. Начало луча — точка $(0, -4)$, которая также не принадлежит графику.

Построим график функции:

Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{x^2}} - 3$ представляет собой объединение двух лучей: луча $y = -2$, определённого для $x > 0$, и луча $y = -4$, определённого для $x < 0$. Начальные точки лучей, $(0, -2)$ и $(0, -4)$, не входят в график (являются выколотыми).