Номер 4, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 4, страница 35.

Условие.

4. Упростите выражение:

1) $\sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{45})$;

Решение.

I способ.

Применив правило умножения многочлена на одночлен, получаем:

$\sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{45}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 20} + \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{100} + \sqrt{225} =$

II способ.

Вынося множитель из-под знака корня, получаем:

$\sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{45}) = \sqrt{5}(\sqrt{4 \cdot 5} + \sqrt{9 \cdot 5}) = \sqrt{5}(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) = \sqrt{5} \cdot 5\sqrt{5} =$

$= 5(\sqrt{5})^2 =$

2) $(\sqrt{700} + \sqrt{7} - \sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} =$

3) $\sqrt{6}(\sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{243}) =$

Решение.

1) $ \sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{45}) $

Завершим решение, предложенное в задании, обоими способами.

I способ. Применив правило умножения одночлена на многочлен (раскрыв скобки), получаем:

$ \sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{45}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 20} + \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{100} + \sqrt{225} = 10 + 15 = 25 $

II способ. Вынеся множитель из-под знака корня в скобках, получаем:

$ \sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{45}) = \sqrt{5}(\sqrt{4 \cdot 5} + \sqrt{9 \cdot 5}) = \sqrt{5}(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) $

Складываем подобные слагаемые в скобках:

$ \sqrt{5}(5\sqrt{5}) = 5 \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) = 5 \cdot 5 = 25 $

Ответ: 25

2) $ (\sqrt{700} + \sqrt{7} - \sqrt{63}) \cdot \sqrt{7} $

Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней:

$ \sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7} $

$ \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7} $

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$ (10\sqrt{7} + \sqrt{7} - 3\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} $

Выполним действия с подобными слагаемыми в скобках:

$ (10 + 1 - 3)\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 8\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} $

Вычислим произведение:

$ 8 \cdot (\sqrt{7})^2 = 8 \cdot 7 = 56 $

Ответ: 56

3) $ \sqrt{6}(\sqrt{48} + \sqrt{75} - \sqrt{243}) $

Упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней:

$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $

$ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} $

$ \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3} $

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$ \sqrt{6}(4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 9\sqrt{3}) $

Выполним действия с подобными слагаемыми в скобках:

$ \sqrt{6}((4 + 5 - 9)\sqrt{3}) = \sqrt{6}(0 \cdot \sqrt{3}) = \sqrt{6} \cdot 0 = 0 $

Ответ: 0