Номер 9, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 9, страница 37.

Условие.

9. Значение какого из данных выражений является иррациональным числом? В ответ запишите номер этого выражения.

1) $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7}$

2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$

3) $(\sqrt{19} - \sqrt{6})(\sqrt{19} + \sqrt{6})$

4) $\sqrt{54} + 2\sqrt{6}$

Ответ:

Решение.

Для того чтобы определить, значение какого из выражений является иррациональным, необходимо упростить каждое из них и проанализировать результат.

1) $\sqrt{28} \cdot \sqrt{7}$

Используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{28} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{28 \cdot 7} = \sqrt{196}$

Так как $14^2 = 196$, то $\sqrt{196} = 14$.

Число 14 является целым, следовательно, рациональным.

Ответ: 14.

2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$

Используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}} = \sqrt{\frac{3}{48}}$

Сократим дробь под корнем: $\frac{3}{48} = \frac{1}{16}$.

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.

Число $\frac{1}{4}$ является рациональным.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) $(\sqrt{19} - \sqrt{6})(\sqrt{19} + \sqrt{6})$

Применим формулу сокращённого умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(\sqrt{19} - \sqrt{6})(\sqrt{19} + \sqrt{6}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{6})^2 = 19 - 6 = 13$.

Число 13 является целым, следовательно, рациональным.

Ответ: 13.

4) $\sqrt{54} + 2\sqrt{6}$

Упростим слагаемое $\sqrt{54}$, вынеся множитель из-под знака корня. Разложим 54 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $54 = 9 \cdot 6$.

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = (3+2)\sqrt{6} = 5\sqrt{6}$.

Так как 6 не является полным квадратом, $\sqrt{6}$ — иррациональное число. Произведение рационального числа 5 на иррациональное число $\sqrt{6}$ также является иррациональным числом.

Ответ: $5\sqrt{6}$.

Сравнив результаты, мы видим, что только значение выражения под номером 4 является иррациональным числом. В ответ требуется записать номер этого выражения.

Ответ: 4.