Номер 12, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 12, страница 40.

Условие.

12. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{5}{\sqrt{6}+1}$

Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение $\sqrt{6}-1$, получаем:

$\frac{5}{\sqrt{6}+1} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)} = $

2) $\frac{3}{\sqrt{11}-\sqrt{2}} = $

3) $\frac{a}{\sqrt{a}-a} = $

4) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = $

5) $\frac{\sqrt{11}+1}{\sqrt{11}-1} = $

6) $\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, получаем:

$\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a+\sqrt{ab}+b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = $

7) $\frac{9b-3\sqrt{b}+1}{3\sqrt{b}-1} = $

Решение.

1) $\frac{5}{\sqrt{6}+1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $(\sqrt{6}+1)$ является $(\sqrt{6}-1)$.

$\frac{5}{\sqrt{6}+1} = \frac{5 \cdot (\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1) \cdot (\sqrt{6}-1)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\frac{5(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{6-1} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{5}$

Сокращаем дробь на 5:

$\sqrt{6}-1$

Ответ: $\sqrt{6}-1$

2) $\frac{3}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для знаменателя, которым является $(\sqrt{11}+\sqrt{2})$.

$\frac{3 \cdot (\sqrt{11}+\sqrt{2})}{(\sqrt{11}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{11}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{11-2} = \frac{3(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{9}$

Сокращаем дробь на 3:

$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{3}$

3) $\frac{a}{\sqrt{a}-a}$

Область допустимых значений: $a > 0$ и $\sqrt{a}-a \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

Сначала упростим выражение, вынеся в знаменателе $\sqrt{a}$ за скобки и сократив дробь:

$\frac{a}{\sqrt{a}-a} = \frac{a}{\sqrt{a}(1-\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$

Теперь умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное новому знаменателю, то есть на $(1+\sqrt{a})$:

$\frac{\sqrt{a} \cdot (1+\sqrt{a})}{(1-\sqrt{a}) \cdot (1+\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a}+a}{1^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{a+\sqrt{a}}{1-a}$

Ответ: $\frac{a+\sqrt{a}}{1-a}$

4) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$:

$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

В числителе используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в знаменателе — разности квадратов:

$\frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2}$

Вынесем в числителе 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(4 - \sqrt{15})}{2} = 4 - \sqrt{15}$

Ответ: $4 - \sqrt{15}$

5) $\frac{\sqrt{11}+1}{\sqrt{11}-1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{11}+1)$:

$\frac{(\sqrt{11}+1) \cdot (\sqrt{11}+1)}{(\sqrt{11}-1) \cdot (\sqrt{11}+1)} = \frac{(\sqrt{11}+1)^2}{(\sqrt{11})^2 - 1^2}$

В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в знаменателе — разности квадратов:

$\frac{(\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\cdot 1 + 1^2}{11-1} = \frac{11 + 2\sqrt{11} + 1}{10} = \frac{12 + 2\sqrt{11}}{10}$

Вынесем в числителе 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(6 + \sqrt{11})}{10} = \frac{6 + \sqrt{11}}{5}$

Ответ: $\frac{6 + \sqrt{11}}{5}$

6) $\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Умножим числитель и знаменатель на выражение $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

$\frac{(a+\sqrt{ab}+b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}$

Числитель представляет собой произведение неполного квадрата суммы и разности, что является формулой разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$. Знаменатель является разностью квадратов.

$\frac{(\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3}{a-b} = \frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}$

7) $\frac{9b+3\sqrt{b}+1}{3\sqrt{b}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(3\sqrt{b}+1)$:

$\frac{(9b+3\sqrt{b}+1)(3\sqrt{b}+1)}{(3\sqrt{b}-1)(3\sqrt{b}+1)}$

Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов:

$(3\sqrt{b}-1)(3\sqrt{b}+1) = (3\sqrt{b})^2 - 1^2 = 9b-1$

Раскроем скобки в числителе:

$(9b+3\sqrt{b}+1)(3\sqrt{b}+1) = 9b(3\sqrt{b}) + 9b(1) + 3\sqrt{b}(3\sqrt{b}) + 3\sqrt{b}(1) + 1(3\sqrt{b}) + 1(1) = 27b\sqrt{b} + 9b + 9b + 3\sqrt{b} + 3\sqrt{b} + 1$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$27b\sqrt{b} + 18b + 6\sqrt{b} + 1$

Таким образом, итоговая дробь:

$\frac{27b\sqrt{b} + 18b + 6\sqrt{b} + 1}{9b-1}$

Ответ: $\frac{27b\sqrt{b} + 18b + 6\sqrt{b} + 1}{9b-1}$