Номер 19, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 19, страница 46.

Условие.

19. Сократите дробь:

1) $\frac{8-2\sqrt{7}}{\sqrt{7}-1} = \frac{7-2\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1} =$

2) $\frac{9+4\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} =$

3) $\frac{11-2\sqrt{30}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{6+5-2\sqrt{6}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} =$

4) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}} =$

Решение.

1) $\frac{8 - 2\sqrt{7}}{\sqrt{7} - 1}$

Представим числитель дроби в виде полного квадрата разности. Для этого заметим, что $8 = 7 + 1$.

$\frac{8 - 2\sqrt{7}}{\sqrt{7} - 1} = \frac{7 - 2\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} - 1}$

Выражение в числителе $7 - 2\sqrt{7} + 1$ является квадратом разности $(\sqrt{7} - 1)^2$, так как по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ имеем:

$(\sqrt{7} - 1)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = 7 - 2\sqrt{7} + 1$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{7} - 1)^2}{\sqrt{7} - 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{7} - 1)$:

$\sqrt{7} - 1$

Ответ: $\sqrt{7} - 1$

2) $\frac{9 + 4\sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

Рассмотрим знаменатель $2 + \sqrt{5}$ и возведем его в квадрат, чтобы проверить, не является ли числитель его квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

Числитель дроби действительно является квадратом знаменателя. Подставим это в дробь:

$\frac{(2 + \sqrt{5})^2}{2 + \sqrt{5}}$

Сократим дробь на общий множитель $(2 + \sqrt{5})$:

$2 + \sqrt{5}$

Ответ: $2 + \sqrt{5}$

3) $\frac{11 - 2\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

Представим числитель дроби в виде полного квадрата разности. Для этого заметим, что $11 = 6 + 5$ и $\sqrt{30} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{5}$.

$\frac{11 - 2\sqrt{30}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{6 + 5 - 2\sqrt{6}\sqrt{5}}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} = \frac{6 - 2\sqrt{6}\sqrt{5} + 5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

Выражение в числителе $6 - 2\sqrt{6}\sqrt{5} + 5$ является квадратом разности $(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2$, так как $(\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 6 - 2\sqrt{30} + 5 = 11 - 2\sqrt{30}$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$:

$\sqrt{6} - \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{6} - \sqrt{5}$

4) $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{5 + 2\sqrt{6}}$

Попробуем представить знаменатель в виде полного квадрата суммы. Для этого ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 5$ и $2ab = 2\sqrt{6}$.

Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{6}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$. Проверим первое уравнение:

$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.

Условие выполняется. Таким образом, знаменатель $5 + 2\sqrt{6}$ является квадратом суммы $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$:

$\frac{1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{2}$