Номер 20, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 20, страница 46.

Условие.

20. Докажите, что $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{11}} + \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}} = \frac{\sqrt{31}-\sqrt{3}}{4}$.

Решение.

Решение.

Для доказательства данного равенства преобразуем каждое слагаемое в левой части, избавляясь от иррациональности в знаменателе. Общий метод заключается в умножении числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для дроби вида $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ сопряженным выражением будет $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.

Применим этот метод к общему члену нашей суммы, который имеет вид $\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+4}}$:

$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+4}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{n+4} - \sqrt{n})}{(\sqrt{n} + \sqrt{n+4})(\sqrt{n+4} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+4} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+4})^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{\sqrt{n+4} - \sqrt{n}}{n+4 - n} = \frac{\sqrt{n+4} - \sqrt{n}}{4}$

Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому исходной суммы:

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{11}}{4}$

...

$\frac{1}{\sqrt{27} + \sqrt{31}} = \frac{\sqrt{31} - \sqrt{27}}{4}$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{4} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{11}}{4} + \dots + \frac{\sqrt{31} - \sqrt{27}}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4} \left( (\sqrt{7} - \sqrt{3}) + (\sqrt{11} - \sqrt{7}) + (\sqrt{15} - \sqrt{11}) + \dots + (\sqrt{31} - \sqrt{27}) \right)$

Внутри скобок мы видим, что большинство членов взаимно уничтожаются (такая сумма называется телескопической):

$\frac{1}{4} ( \sout{\sqrt{7}} - \sqrt{3} + \sout{\sqrt{11}} - \sout{\sqrt{7}} + \sout{\sqrt{15}} - \sout{\sqrt{11}} + \dots + \sqrt{31} - \sout{\sqrt{27}} )$

Все промежуточные члены сокращаются, и остаются только первый и последний: $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{31}$.

Таким образом, сумма равна:

$\frac{1}{4} ( \sqrt{31} - \sqrt{3} ) = \frac{\sqrt{31} - \sqrt{3}}{4}$

Мы показали, что левая часть равенства равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.