Номер 21, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 21, страница 46.

Условие.

21. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$; 2) $\frac{1}{2-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$.

Решение.

1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение $1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$, получаем:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} =$

Решение.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} $, необходимо последовательно умножать числитель и знаменатель на сопряженные выражения до тех пор, пока в знаменателе не останется рациональное число. Сначала сгруппируем слагаемые в знаменателе как $ (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3} $. Сопряженным выражением для него будет $ (1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3} $. Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:

$ \frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})} $

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, где $ a = 1 + \sqrt{2} $ и $ b = \sqrt{3} $:

$ \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} $

В знаменателе осталась иррациональность $ \sqrt{2} $. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \frac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.

2) Для дроби $ \frac{1}{2 - \sqrt{3} + \sqrt{5}} $ поступим аналогичным образом. Сгруппируем слагаемые в знаменателе как $ (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{5} $ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{5} $:

$ \frac{1}{2 - \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{3} + \sqrt{5})(2 - \sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(2 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Раскроем скобки в знаменателе:

$ \frac{2 - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 5} = \frac{2 - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{(4 - 4\sqrt{3} + 3) - 5} = \frac{2 - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{7 - 4\sqrt{3} - 5} = \frac{2 - \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2 - 4\sqrt{3}} $

Теперь необходимо избавиться от иррациональности в новом знаменателе $ 2 - 4\sqrt{3} $. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное ему выражение $ 2 + 4\sqrt{3} $:

$ \frac{(2 - \sqrt{3} - \sqrt{5})(2 + 4\sqrt{3})}{(2 - 4\sqrt{3})(2 + 4\sqrt{3})} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (2 - \sqrt{3} - \sqrt{5})(2 + 4\sqrt{3}) = 2(2 + 4\sqrt{3}) - \sqrt{3}(2 + 4\sqrt{3}) - \sqrt{5}(2 + 4\sqrt{3}) $

$ = 4 + 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 4(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{15} = 4 + 6\sqrt{3} - 12 - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{15} $

$ = -8 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{15} $

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов:

$ (2 - 4\sqrt{3})(2 + 4\sqrt{3}) = 2^2 - (4\sqrt{3})^2 = 4 - 16 \cdot 3 = 4 - 48 = -44 $

Получаем дробь:

$ \frac{-8 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 4\sqrt{15}}{-44} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на -2:

$ \frac{-2(4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} + 2\sqrt{15})}{-2(22)} = \frac{4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} + 2\sqrt{15}}{22} $

Ответ: $ \frac{4 - 3\sqrt{3} + \sqrt{5} + 2\sqrt{15}}{22} $.