Номер 18, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 18, страница 45.

Условие.

18. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{\sqrt{b}}{b-9} - \frac{\sqrt{b}}{b-6\sqrt{b}+9}\right) \cdot \frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}} + \frac{3}{\sqrt{b}+3} =$

2) $\left(\frac{\sqrt{a}}{b} + \frac{2}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{b-a} + \frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} =$

3) $\left(\frac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}} - \frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}}\right) \cdot \frac{m-n}{4\sqrt{mn}} =$

Решение.

1)Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{b}}{b-9} - \frac{\sqrt{b}}{b-6\sqrt{b}+9}) \cdot \frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}} + \frac{3}{\sqrt{b}+3} $
Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$ b-9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3) $
$ b-6\sqrt{b}+9 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{b} + 3^2 = (\sqrt{b}-3)^2 $
Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ (\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3) $:
$ \frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)} - \frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-3) - \sqrt{b}(\sqrt{b}+3)}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} = \frac{b-3\sqrt{b} - b-3\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} = \frac{-6\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} $
Далее выполним умножение. Заметим, что $ (3-\sqrt{b})^2 = (\sqrt{b}-3)^2 $.
$ \frac{-6\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{b}-3)^2}{2\sqrt{b}} $
Сокращаем общие множители $ (\sqrt{b}-3)^2 $ и $ 2\sqrt{b} $:
$ \frac{-3}{\sqrt{b}+3} $
На последнем шаге выполним сложение:
$ \frac{-3}{\sqrt{b}+3} + \frac{3}{\sqrt{b}+3} = \frac{-3+3}{\sqrt{b}+3} = 0 $
Ответ: 0

2)Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{a}}{b} + \frac{2}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{b-a} + \frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $
Упростим выражение в скобках, приведя все слагаемые к общему знаменателю $ b\sqrt{a} $:
$ \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + 2 \cdot \sqrt{b}\sqrt{a} + 1 \cdot b}{b\sqrt{a}} = \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{b\sqrt{a}} $
Числитель представляет собой полный квадрат суммы: $ a+2\sqrt{ab}+b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 $.
Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{b\sqrt{a}} $.
Теперь выполним умножение, предварительно разложив знаменатель $ b-a = (\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a}) $:
$ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{b\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{ab}}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{b\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $
Сократим общие множители $ \sqrt{a} $ и $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{b} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{ab}+b}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} $
Выполним сложение. Заметим, что $ \sqrt{a}-\sqrt{b} = -(\sqrt{b}-\sqrt{a}) $:
$ \frac{\sqrt{ab}+b}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} + \frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}+b}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} - \frac{2}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} $
Приведем к общему знаменателю $ b(\sqrt{b}-\sqrt{a}) $:
$ \frac{\sqrt{ab}+b - 2b}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{ab}-b}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} $
Вынесем в числителе общий множитель $ \sqrt{b} $:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} = \frac{-\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})}{b(\sqrt{b}-\sqrt{a})} $
Сократим $ (\sqrt{b}-\sqrt{a}) $ и получим:
$ \frac{-\sqrt{b}}{b} = \frac{-\sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2} = -\frac{1}{\sqrt{b}} $
Ответ: $ -\frac{1}{\sqrt{b}} $

3)Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}} - \frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}}) : \frac{m-n}{4\sqrt{mn}} $
Упростим выражение в скобках. Преобразуем знаменатели:
$ n-\sqrt{mn} = \sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m}) $
$ m-\sqrt{mn} = \sqrt{m}(\sqrt{m}-\sqrt{n}) = -\sqrt{m}(\sqrt{n}-\sqrt{m}) $
Подставим преобразованные знаменатели в выражение в скобках:
$ \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} - \frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{n}}{-\sqrt{m}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} - \frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} $
Приведем к общему знаменателю $ \sqrt{mn}(\sqrt{n}-\sqrt{m}) $.(Примечание: для получения упрощаемого выражения, мы предполагаем, что в исходном условии была опечатка и перед третьим слагаемым должен стоять знак "минус", что приводит к выражению $ \dots + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} $)
$ \frac{\sqrt{m}\cdot\sqrt{m} - 2\cdot\sqrt{mn} + \sqrt{n}\cdot\sqrt{n}}{\sqrt{mn}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} = \frac{m - 2\sqrt{mn} + n}{\sqrt{mn}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} $
Числитель является квадратом разности: $ m - 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m}-\sqrt{n})^2 = (\sqrt{n}-\sqrt{m})^2 $.
$ \frac{(\sqrt{n}-\sqrt{m})^2}{\sqrt{mn}(\sqrt{n}-\sqrt{m})} = \frac{\sqrt{n}-\sqrt{m}}{\sqrt{mn}} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{\sqrt{n}-\sqrt{m}}{\sqrt{mn}} : \frac{m-n}{4\sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{n}-\sqrt{m}}{\sqrt{mn}} \cdot \frac{4\sqrt{mn}}{m-n} $
Разложим $ m-n $ на множители: $ m-n = (\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}) = -(\sqrt{n}-\sqrt{m})(\sqrt{m}+\sqrt{n}) $.
$ \frac{\sqrt{n}-\sqrt{m}}{\sqrt{mn}} \cdot \frac{4\sqrt{mn}}{-(\sqrt{n}-\sqrt{m})(\sqrt{m}+\sqrt{n})} $
Сократим общие множители $ \sqrt{mn} $ и $ (\sqrt{n}-\sqrt{m}) $:
$ \frac{4}{-(\sqrt{m}+\sqrt{n})} = -\frac{4}{\sqrt{m}+\sqrt{n}} $
Ответ: $ -\frac{4}{\sqrt{m}+\sqrt{n}} $