Номер 15, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 15, страница 42.

Условие.

15. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3} - \frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}} = \frac{}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$

2) $\frac{b}{b-25} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+5} = \frac{b}{(\sqrt{b}-5)(\sqrt{b}+5)} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+5} =$

3) $\frac{4\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m+\sqrt{mn}} \cdot \frac{2m-2n}{4m-\sqrt{mn}} = \frac{4\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{m}( \quad )} \cdot \frac{2( \quad )}{\sqrt{m}( \quad )} =$

4) $\frac{\sqrt{c}-4}{\sqrt{c}} \cdot \frac{c-16}{2c} =$

5) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} = \frac{}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} =$

6) $(\frac{\sqrt{c}+7}{\sqrt{c}-7} - \frac{\sqrt{c}-7}{\sqrt{c}+7}) : \frac{14}{c-7\sqrt{c}} =$

7) $\frac{\sqrt{a}-6}{a+3\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3} = \frac{\sqrt{a}-6}{\sqrt{a}( \quad )} - \frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3} =$

8) $\frac{\sqrt{m}+4}{m-6\sqrt{m}+9} : \frac{m-16}{2\sqrt{m}-6} - \frac{2}{\sqrt{m}-4} =$

Решение.

1)
Приведем все дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{a}$, а второй дроби на $(\sqrt{a}-3)$.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3} - \frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+6}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)} - \frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}-3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)} - \frac{\sqrt{a}+6}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$
Теперь выполним действия в числителе, помня, что $(\sqrt{a}-3)^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{a} + 3^2 = a - 6\sqrt{a} + 9$.
$\frac{a - (a - 6\sqrt{a} + 9) - (\sqrt{a}+6)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)} = \frac{a - a + 6\sqrt{a} - 9 - \sqrt{a} - 6}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{5\sqrt{a} - 15}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)} = \frac{5(\sqrt{a} - 3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$
Сократим дробь на $(\sqrt{a} - 3)$:
$\frac{5}{\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{5}{\sqrt{a}}$.

2)
Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $b-25 = (\sqrt{b}-5)(\sqrt{b}+5)$.
$\frac{b}{(\sqrt{b}-5)(\sqrt{b}+5)} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+5}$
Общий знаменатель $(\sqrt{b}-5)(\sqrt{b}+5)$. Домножим вторую дробь на $(\sqrt{b}-5)$.
$\frac{b}{(\sqrt{b}-5)(\sqrt{b}+5)} - \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-5)}{(\sqrt{b}+5)(\sqrt{b}-5)} = \frac{b - \sqrt{b}(\sqrt{b}-5)}{b-25}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{b - (b - 5\sqrt{b})}{b-25} = \frac{b - b + 5\sqrt{b}}{b-25} = \frac{5\sqrt{b}}{b-25}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{b}}{b-25}$.

3)
Разложим числители и знаменатели на множители. В знаменателе второй дроби опечатка, должно быть $4m-\sqrt{mn}$.
$m+\sqrt{mn} = \sqrt{m}(\sqrt{m}+\sqrt{n})$
$2m-2n = 2(m-n) = 2(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})$
$4m-\sqrt{mn} = \sqrt{m}(4\sqrt{m}-\sqrt{n})$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{4\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+\sqrt{n})} \cdot \frac{2(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{\sqrt{m}(4\sqrt{m}-\sqrt{n})}$
Сократим одинаковые множители $(4\sqrt{m}-\sqrt{n})$ и $(\sqrt{m}+\sqrt{n})$:
$\frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{2(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{\sqrt{m}} = \frac{2(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{m}$

Ответ: $\frac{2(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{m}$.

4)
Заменим деление умножением на обратную дробь.
$\frac{\sqrt{c}-4}{\sqrt{c}} \div \frac{c-16}{2c} = \frac{\sqrt{c}-4}{\sqrt{c}} \cdot \frac{2c}{c-16}$
Разложим $c-16$ по формуле разности квадратов: $c-16=(\sqrt{c}-4)(\sqrt{c}+4)$.
$\frac{\sqrt{c}-4}{\sqrt{c}} \cdot \frac{2c}{(\sqrt{c}-4)(\sqrt{c}+4)}$
Сократим дробь на $(\sqrt{c}-4)$:
$\frac{2c}{\sqrt{c}(\sqrt{c}+4)}$
Так как $c=(\sqrt{c})^2$, можем сократить на $\sqrt{c}$:
$\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+4}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+4}$.

5)
В условии, вероятно, опечатка. Наиболее вероятный вариант условия: $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}) \div \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}$.
Упростим выражение в скобках. Заметим, что $\sqrt{b}-\sqrt{a} = -(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
Теперь выполним деление:
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \div \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$
Сократим на $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1} \cdot \frac{-1}{\sqrt{b}} = -\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$.

6)
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(\sqrt{c}-7)(\sqrt{c}+7) = c-49$.
$\frac{(\sqrt{c}+7)(\sqrt{c}+7)}{(\sqrt{c}-7)(\sqrt{c}+7)} - \frac{(\sqrt{c}-7)(\sqrt{c}-7)}{(\sqrt{c}+7)(\sqrt{c}-7)} = \frac{(\sqrt{c}+7)^2 - (\sqrt{c}-7)^2}{c-49}$
В числителе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{((\sqrt{c}+7)-(\sqrt{c}-7))((\sqrt{c}+7)+(\sqrt{c}-7))}{c-49} = \frac{(\sqrt{c}+7-\sqrt{c}+7)(\sqrt{c}+7+\sqrt{c}-7)}{c-49} = \frac{14 \cdot 2\sqrt{c}}{c-49} = \frac{28\sqrt{c}}{c-49}$
Теперь выполним деление:
$\frac{28\sqrt{c}}{c-49} \div \frac{14}{c-7\sqrt{c}} = \frac{28\sqrt{c}}{c-49} \cdot \frac{c-7\sqrt{c}}{14}$
Разложим $c-7\sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{c}-7)$ и $c-49 = (\sqrt{c}-7)(\sqrt{c}+7)$.
$\frac{28\sqrt{c}}{(\sqrt{c}-7)(\sqrt{c}+7)} \cdot \frac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-7)}{14}$
Сократим $28$ и $14$, а также $(\sqrt{c}-7)$:
$\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+7} \cdot \sqrt{c} = \frac{2c}{\sqrt{c}+7}$

Ответ: $\frac{2c}{\sqrt{c}+7}$.

7)
Разложим знаменатель первой дроби на множители: $a+3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+3)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{\sqrt{a}-6}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} - \frac{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} + \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$
Объединим числители. Используем формулу $(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3) = a-9$.
$\frac{(\sqrt{a}-6) - (a-9) + a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} = \frac{\sqrt{a}-6-a+9+a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$
Сократим на $(\sqrt{a}+3)$:
$\frac{1}{\sqrt{a}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a}}$.

8)
Двоеточие означает деление. Выполним сначала деление, предварительно разложив выражения на множители.
$m-6\sqrt{m}+9 = (\sqrt{m}-3)^2$
$m-16 = (\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)$
$2\sqrt{m}-6 = 2(\sqrt{m}-3)$
$\frac{\sqrt{m}+4}{m-6\sqrt{m}+9} \div \frac{m-16}{2\sqrt{m}-6} = \frac{\sqrt{m}+4}{(\sqrt{m}-3)^2} \cdot \frac{2(\sqrt{m}-3)}{(\sqrt{m}-4)(\sqrt{m}+4)}$
Сократим на $(\sqrt{m}+4)$ и на $(\sqrt{m}-3)$:
$\frac{1}{\sqrt{m}-3} \cdot \frac{2}{\sqrt{m}-4} = \frac{2}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}-4)}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{2}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}-4)} - \frac{2}{\sqrt{m}-4}$
Приведем ко второму знаменателю, домножив вторую дробь на $(\sqrt{m}-3)$:
$\frac{2 - 2(\sqrt{m}-3)}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}-4)} = \frac{2 - 2\sqrt{m} + 6}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}-4)} = \frac{8 - 2\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}-4)}$
Вынесем в числителе $-2$ за скобки: $8 - 2\sqrt{m} = -2(\sqrt{m}-4)$.
$\frac{-2(\sqrt{m}-4)}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}-4)}$
Сократим на $(\sqrt{m}-4)$:
$\frac{-2}{\sqrt{m}-3} = \frac{2}{3-\sqrt{m}}$

Ответ: $\frac{2}{3-\sqrt{m}}$.