Номер 17, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17, страница 44.

Условие.

17. Внесите множитель под знак корня:

1) $a^3\sqrt{5}$;

Если $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$ и тогда $a^3\sqrt{5} = \sqrt{a^6} \cdot \sqrt{5} =$

Если $a < 0$, то $a^3 < 0$ и тогда $a^3\sqrt{5} = -\sqrt{a^6} \cdot \sqrt{5} =$

2) $b^5\sqrt{c}$;

3) $a^7\sqrt{-a^3}$;

Из условия следует, что $a^3 \le 0$. Тогда $a \le 0$ и $a^7\sqrt{-a^3} = -\sqrt{} \cdot \sqrt{-a^3} =$

=

4) $ab^4\sqrt{ab}$, если $b \le 0$;

5) $6m\sqrt{\frac{m}{3}};$

6) $6m\sqrt{-\frac{m}{3}};$

Решение.

1) $a^3\sqrt{5}$

Для внесения множителя $a^3$ под знак корня необходимо рассмотреть два случая, так как знак множителя зависит от знака переменной $a$.

- Если $a \ge 0$, то множитель $a^3 \ge 0$. Неотрицательный множитель вносится под знак корня путем возведения его в квадрат:
$a^3\sqrt{5} = \sqrt{(a^3)^2 \cdot 5} = \sqrt{a^6 \cdot 5} = \sqrt{5a^6}$.

- Если $a < 0$, то множитель $a^3 < 0$. Чтобы внести отрицательный множитель под знак квадратного корня, ставится знак минус перед корнем, а под корень вносится квадрат этого множителя:
$a^3\sqrt{5} = -\sqrt{(a^3)^2 \cdot 5} = -\sqrt{a^6 \cdot 5} = -\sqrt{5a^6}$.

Ответ: $\sqrt{5a^6}$ при $a \ge 0$; $-\sqrt{5a^6}$ при $a < 0$.

2) $b^5\sqrt{c}$

Данное выражение определено при $c \ge 0$. Знак множителя $b^5$ совпадает со знаком переменной $b$.

- Если $b \ge 0$, то множитель $b^5 \ge 0$. Вносим его под корень, возводя в квадрат:
$b^5\sqrt{c} = \sqrt{(b^5)^2 \cdot c} = \sqrt{b^{10}c}$.

- Если $b < 0$, то множитель $b^5 < 0$. Ставим знак минус перед корнем и возводим множитель в квадрат под корнем:
$b^5\sqrt{c} = -\sqrt{(b^5)^2 \cdot c} = -\sqrt{b^{10}c}$.

Ответ: $\sqrt{b^{10}c}$ при $b \ge 0, c \ge 0$; $-\sqrt{b^{10}c}$ при $b < 0, c \ge 0$.

3) $a^7\sqrt{-a^3}$

Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, и, следовательно, $a \le 0$.

При $a \le 0$ множитель $a^7$ является неположительным (так как степень нечетная). При $a = 0$ все выражение равно нулю. При $a < 0$ множитель отрицательный.

Вносим неположительный множитель $a^7$ под знак корня, ставя знак минус перед корнем:

$a^7\sqrt{-a^3} = -\sqrt{(a^7)^2 \cdot (-a^3)} = -\sqrt{a^{14} \cdot (-a^3)} = -\sqrt{-a^{17}}$.

Ответ: $-\sqrt{-a^{17}}$.

4) $ab^4\sqrt{ab}$, если $b \le 0$

Выражение определено при $ab \ge 0$. Учитывая условие $b \le 0$, получаем, что $a$ также должно быть неположительным, то есть $a \le 0$. (При $b=0$ выражение равно 0 для любого $a$. При $b<0$, чтобы произведение $ab$ было $\ge 0$, необходимо $a \le 0$).

Рассмотрим знак множителя $ab^4$. Так как $b \le 0$, то $b^4 \ge 0$ (четная степень). Поскольку $a \le 0$, то произведение $ab^4$ будет неположительным ($ab^4 \le 0$).

Вносим неположительный множитель под корень, ставя знак минус перед корнем:

$ab^4\sqrt{ab} = -\sqrt{(ab^4)^2 \cdot ab} = -\sqrt{a^2(b^4)^2 \cdot ab} = -\sqrt{a^2b^8ab} = -\sqrt{a^3b^9}$.

Ответ: $-\sqrt{a^3b^9}$.

5) $6m\sqrt{\frac{m}{3}}$

Выражение имеет смысл при $\frac{m}{3} \ge 0$, то есть при $m \ge 0$.

При $m \ge 0$ множитель $6m$ является неотрицательным.

Вносим неотрицательный множитель под знак корня, возводя его в квадрат:

$6m\sqrt{\frac{m}{3}} = \sqrt{(6m)^2 \cdot \frac{m}{3}} = \sqrt{36m^2 \cdot \frac{m}{3}} = \sqrt{\frac{36m^3}{3}} = \sqrt{12m^3}$.

Ответ: $\sqrt{12m^3}$.

6) $6m\sqrt{-\frac{m}{3}}$

Выражение имеет смысл при $-\frac{m}{3} \ge 0$, что означает $m \le 0$.

При $m \le 0$ множитель $6m$ является неположительным.

Вносим неположительный множитель под знак корня, поставив знак минус перед корнем:

$6m\sqrt{-\frac{m}{3}} = -\sqrt{(6m)^2 \cdot \left(-\frac{m}{3}\right)} = -\sqrt{36m^2 \cdot \left(-\frac{m}{3}\right)} = -\sqrt{-\frac{36m^3}{3}} = -\sqrt{-12m^3}$.

Ответ: $-\sqrt{-12m^3}$.