Номер 14, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 14, страница 41.

Условие.

14. Докажите, что значение выражения $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ является рациональным числом.

Решение.

Решение.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $.

Общим знаменателем является произведение знаменателей $ (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) $. Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, чтобы упростить его:

$ (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 $.

Теперь приведем всё выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} - \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2}) - \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1} $.

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - (\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 3 + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 2 = 5 $.

Таким образом, значение всего выражения равно:

$ \frac{5}{1} = 5 $.

Число 5 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ и $ q $ — целые числа и $ q \ne 0 $ (в данном случае $ \frac{5}{1} $). Следовательно, значение исходного выражения — рациональное число. Что и требовалось доказать.

Ответ: 5.