Номер 16, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 16, страница 43.

Условие.

16. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-a^{17}}$;Из условия следует, что $a \leq 0$. Тогда $\sqrt{-a^{17}} = \sqrt{a^{16} \cdot (-a)} = |a^8| \cdot \sqrt{-a} = $

2) $\sqrt{m^{15}n^8}$, если $n \neq 0$;Из условия следует, что $n^8 > 0$. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получается, что $m$ _________ 0. Тогда$\sqrt{m^{15}n^8} = \sqrt{m^{14}mn^8} = |m^7| \cdot |n^4| \cdot \sqrt{m} = $

3) $\sqrt{81x^{10}y^3}$, если $x < 0$;

4) $\sqrt{32x^7y^{12}}$, если $y < 0$;

5) $\sqrt{-18a^6b^2c^{11}}$, если $a < 0, b > 0$;

6) $\sqrt{300a^{13}p^{27}}$, если $p < 0$.

Решение.

1) $\sqrt{-a^{17}}$

Подкоренное выражение $-a^{17}$ должно быть неотрицательным. Из условия следует, что $a \le 0$, а значит $-a \ge 0$. Представим $a^{17}$ как $a^{16} \cdot a$. Так как $a \le 0$, то $a^{17} \le 0$, и, следовательно, $-a^{17} \ge 0$. Условие существования корня выполняется.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{-a^{17}} = \sqrt{a^{16} \cdot (-a)} = \sqrt{(a^8)^2 \cdot (-a)} = \sqrt{(a^8)^2} \cdot \sqrt{-a} = |a^8|\sqrt{-a}$.
Поскольку показатель степени 8 является четным числом, выражение $a^8$ всегда неотрицательно ($a^8 \ge 0$). Следовательно, $|a^8| = a^8$.
Окончательное выражение: $a^8\sqrt{-a}$.
Ответ: $a^8\sqrt{-a}$

2) $\sqrt{m^{15}n^8}$, если $n \ne 0$

Из условия следует, что $n^8 > 0$, так как $n \ne 0$ и показатель степени 8 - четный. Поскольку подкоренное выражение $m^{15}n^8$ должно быть неотрицательным, а $n^8 > 0$, то должно выполняться условие $m^{15} \ge 0$, что означает $m \ge 0$.
Выполним преобразование, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt{m^{15}n^8} = \sqrt{m^{14} \cdot m \cdot n^8} = \sqrt{(m^7)^2 \cdot (n^4)^2 \cdot m} = |m^7| \cdot |n^4| \cdot \sqrt{m}$.
Теперь раскроем модули. Так как мы установили, что $m \ge 0$, то $m^7 \ge 0$, и, следовательно, $|m^7| = m^7$.
Выражение $n^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени 4 - четный, поэтому $|n^4| = n^4$.
В результате получаем: $m^7n^4\sqrt{m}$.
Ответ: $m^7n^4\sqrt{m}$

3) $\sqrt{81x^{10}y^3}$, если $x < 0$

Подкоренное выражение $81x^{10}y^3$ должно быть неотрицательным. $81 > 0$. $x^{10} > 0$, так как $x < 0$ и показатель степени 10 - четный. Следовательно, для неотрицательности всего выражения необходимо, чтобы $y^3 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{81x^{10}y^3} = \sqrt{81 \cdot x^{10} \cdot y^2 \cdot y} = \sqrt{9^2 \cdot (x^5)^2 \cdot y^2 \cdot y} = |9| \cdot |x^5| \cdot |y| \cdot \sqrt{y}$.
Раскроем модули с учетом условий:
$|9| = 9$.
По условию $x < 0$, поэтому $x^5 < 0$ (нечетная степень), и $|x^5| = -x^5$.
Мы определили, что $y \ge 0$, поэтому $|y| = y$.
Собирая все вместе, получаем: $9 \cdot (-x^5) \cdot y \cdot \sqrt{y} = -9x^5y\sqrt{y}$.
Ответ: $-9x^5y\sqrt{y}$

4) $\sqrt{32x^7y^{12}}$, если $y < 0$

Подкоренное выражение $32x^7y^{12}$ должно быть неотрицательным. $32 > 0$. $y^{12} > 0$, так как $y < 0$ и показатель степени 12 - четный. Следовательно, для неотрицательности всего выражения необходимо, чтобы $x^7 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{32x^7y^{12}} = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot x^6 \cdot x \cdot y^{12}} = \sqrt{4^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 \cdot 2x} = |4| \cdot |x^3| \cdot |y^6| \cdot \sqrt{2x}$.
Раскроем модули:
$|4| = 4$.
Мы определили, что $x \ge 0$, поэтому $x^3 \ge 0$, и $|x^3| = x^3$.
Выражение $y^6$ всегда неотрицательно (четная степень), поэтому $|y^6| = y^6$.
В результате получаем: $4 \cdot x^3 \cdot y^6 \cdot \sqrt{2x} = 4x^3y^6\sqrt{2x}$.
Ответ: $4x^3y^6\sqrt{2x}$

5) $\sqrt{-18a^6b^2c^{11}}$, если $a < 0, b > 0$

Подкоренное выражение $-18a^6b^2c^{11}$ должно быть неотрицательным.
$-18 < 0$.
$a^6 > 0$ (так как $a<0$, четная степень).
$b^2 > 0$ (так как $b>0$).
Произведение $-18a^6b^2$ отрицательно. Чтобы все выражение было неотрицательным, множитель $c^{11}$ должен быть $\le 0$. Это означает, что $c \le 0$.
Вынесем множители из-под знака корня. Заметим, что $-18c^{11} = 9 \cdot c^{10} \cdot (-2c)$. Так как $c \le 0$, то $-2c \ge 0$.
$\sqrt{-18a^6b^2c^{11}} = \sqrt{9 \cdot a^6 \cdot b^2 \cdot c^{10} \cdot (-2c)} = \sqrt{3^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 \cdot (c^5)^2 \cdot (-2c)} = |3| \cdot |a^3| \cdot |b| \cdot |c^5| \cdot \sqrt{-2c}$.
Раскроем модули:
$|3| = 3$.
По условию $a < 0$, поэтому $a^3 < 0$, и $|a^3| = -a^3$.
По условию $b > 0$, поэтому $|b| = b$.
Мы определили, что $c \le 0$, поэтому $c^5 \le 0$, и $|c^5| = -c^5$.
Получаем: $3 \cdot (-a^3) \cdot b \cdot (-c^5) \cdot \sqrt{-2c} = 3a^3bc^5\sqrt{-2c}$.
Ответ: $3a^3bc^5\sqrt{-2c}$

6) $\sqrt{300a^{13}p^{27}}$, если $p < 0$

Подкоренное выражение $300a^{13}p^{27}$ должно быть неотрицательным.
$300 > 0$.
По условию $p < 0$, поэтому $p^{27} < 0$ (нечетная степень).
Произведение $300p^{27}$ отрицательно. Чтобы все выражение было неотрицательным, множитель $a^{13}$ должен быть $\le 0$. Это означает, что $a \le 0$.
Вынесем множители из-под знака корня. Заметим, что $300a^{13}p^{27} = 100 \cdot a^{12} \cdot p^{26} \cdot (3ap)$. Так как $a \le 0$ и $p < 0$, то их произведение $ap \ge 0$, и, соответственно, $3ap \ge 0$.
$\sqrt{300a^{13}p^{27}} = \sqrt{100 \cdot a^{12} \cdot p^{26} \cdot (3ap)} = \sqrt{10^2 \cdot (a^6)^2 \cdot (p^{13})^2 \cdot (3ap)} = |10| \cdot |a^6| \cdot |p^{13}| \cdot \sqrt{3ap}$.
Раскроем модули:
$|10| = 10$.
Выражение $a^6$ всегда неотрицательно (четная степень), поэтому $|a^6| = a^6$.
По условию $p < 0$, поэтому $p^{13} < 0$ (нечетная степень), и $|p^{13}| = -p^{13}$.
Получаем: $10 \cdot a^6 \cdot (-p^{13}) \cdot \sqrt{3ap} = -10a^6p^{13}\sqrt{3ap}$.
Ответ: $-10a^6p^{13}\sqrt{3ap}$