Номер 11, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 11, страница 39.

Условие.

11. Упростите выражение:

1) $\sqrt{82}-1 \cdot \sqrt{82}+1 = \sqrt{(\sqrt{82}-1)(\sqrt{82}+1)} =$

2) $\sqrt{58+\sqrt{33}} \cdot \sqrt{58-\sqrt{33}} =$

3) $(\sqrt{2}+3)^2 - (5-2\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 3^2) - (5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2) =$

$=$

4) $(4+3\sqrt{6})^2 + (4-3\sqrt{6})^2 =$

5) $(16+6\sqrt{7})(3-\sqrt{7})^2 = (16+6\sqrt{7})(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2) =$

6) $(7-2\sqrt{10})(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 =$

7) $(\sqrt{12-2\sqrt{11}} + \sqrt{12+2\sqrt{11}})^2 = (\sqrt{12-2\sqrt{11}})^2 + 2 \cdot \sqrt{(12-2\sqrt{11})(12+2\sqrt{11})} + (\sqrt{12+2\sqrt{11}})^2 =$

8) $(\sqrt{9+3\sqrt{5}} - \sqrt{9-3\sqrt{5}})^2 =$

Решение.

1) $ \sqrt{\sqrt{82}-1} \cdot \sqrt{\sqrt{82}+1} $
Используем свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $, чтобы объединить выражения под один корень:
$ \sqrt{(\sqrt{82}-1)(\sqrt{82}+1)} $
Выражение в скобках является разностью квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $. Применим эту формулу:
$ \sqrt{(\sqrt{82})^2 - 1^2} = \sqrt{82-1} = \sqrt{81} = 9 $
Ответ: 9

2) $ \sqrt{58+\sqrt{33}} \cdot \sqrt{58-\sqrt{33}} $
Используем свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $:
$ \sqrt{(58+\sqrt{33})(58-\sqrt{33})} $
Применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 $:
$ \sqrt{58^2 - (\sqrt{33})^2} = \sqrt{3364 - 33} = \sqrt{3331} $
Ответ: $ \sqrt{3331} $

3) $ (\sqrt{2}+3)^2 - (5-2\sqrt{2})^2 $
Раскроем каждый квадрат по формуле сокращенного умножения $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $:
$ (\sqrt{2}+3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2} $
$ (5-2\sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 25 - 20\sqrt{2} + 4 \cdot 2 = 25 - 20\sqrt{2} + 8 = 33 - 20\sqrt{2} $
Теперь выполним вычитание:
$ (11 + 6\sqrt{2}) - (33 - 20\sqrt{2}) = 11 + 6\sqrt{2} - 33 + 20\sqrt{2} = (11-33) + (6\sqrt{2}+20\sqrt{2}) = -22 + 26\sqrt{2} $
Ответ: $ 26\sqrt{2} - 22 $

4) $ (4+3\sqrt{6})^2 + (4-3\sqrt{6})^2 $
Используем тождество $ (a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2) $. Здесь $ a=4 $ и $ b=3\sqrt{6} $.
$ 2(4^2 + (3\sqrt{6})^2) = 2(16 + 9 \cdot 6) = 2(16 + 54) = 2(70) = 140 $
Ответ: 140

5) $ (16+6\sqrt{7})(3-\sqrt{7})^2 $
Сначала возведем в квадрат вторую скобку:
$ (3-\sqrt{7})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7} $
Подставим результат в исходное выражение:
$ (16+6\sqrt{7})(16-6\sqrt{7}) $
Это формула разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $:
$ 16^2 - (6\sqrt{7})^2 = 256 - (36 \cdot 7) = 256 - 252 = 4 $
Ответ: 4

6) $ (7-2\sqrt{10})(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 $
Сначала возведем в квадрат вторую скобку:
$ (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10} $
Подставим результат в исходное выражение:
$ (7-2\sqrt{10})(7+2\sqrt{10}) $
Это формула разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $:
$ 7^2 - (2\sqrt{10})^2 = 49 - (4 \cdot 10) = 49 - 40 = 9 $
Ответ: 9

7) $ (\sqrt{12-2\sqrt{11}} + \sqrt{12+2\sqrt{11}})^2 $
Используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $.
Пусть $ a = \sqrt{12-2\sqrt{11}} $ и $ b = \sqrt{12+2\sqrt{11}} $.
$ a^2 = (\sqrt{12-2\sqrt{11}})^2 = 12-2\sqrt{11} $
$ b^2 = (\sqrt{12+2\sqrt{11}})^2 = 12+2\sqrt{11} $
$ 2ab = 2 \sqrt{(12-2\sqrt{11})(12+2\sqrt{11})} = 2\sqrt{12^2 - (2\sqrt{11})^2} = 2\sqrt{144 - 44} = 2\sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20 $
Теперь сложим полученные части:
$ a^2 + 2ab + b^2 = (12-2\sqrt{11}) + 20 + (12+2\sqrt{11}) = 12+20+12 = 44 $
Ответ: 44

8) $ (\sqrt{9+3\sqrt{5}} - \sqrt{9-3\sqrt{5}})^2 $
Используем формулу квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $.
Пусть $ a = \sqrt{9+3\sqrt{5}} $ и $ b = \sqrt{9-3\sqrt{5}} $.
$ a^2 = (\sqrt{9+3\sqrt{5}})^2 = 9+3\sqrt{5} $
$ b^2 = (\sqrt{9-3\sqrt{5}})^2 = 9-3\sqrt{5} $
$ 2ab = 2 \sqrt{(9+3\sqrt{5})(9-3\sqrt{5})} = 2\sqrt{9^2 - (3\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{81 - 45} = 2\sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12 $
Теперь подставим полученные части в формулу:
$ a^2 - 2ab + b^2 = (9+3\sqrt{5}) - 12 + (9-3\sqrt{5}) = 9-12+9 = 6 $
Ответ: 6