Номер 6, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 6, страница 36.

Условие.

6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2} = $

2) $\frac{6}{5\sqrt{30}} = $

3) $\frac{20}{\sqrt{11}} = $

4) $\frac{m}{n\sqrt{m}} = $

5) $\frac{4}{13\sqrt{x}} = $

6) $\frac{17}{\sqrt{34}} = $

7) $\frac{39}{2\sqrt{13}} = $

Решение.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{14}{\sqrt{7}}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на $\sqrt{7}$. Это действие равносильно умножению дроби на 1, поэтому значение дроби не изменится.
$\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{14\sqrt{7}}{(\sqrt{7})^2} = \frac{14\sqrt{7}}{7}$
Теперь можно сократить полученную дробь, разделив числитель (14) и знаменатель (7) на их общий делитель 7:
$\frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}$
Ответ: $2\sqrt{7}$

2) Для дроби $\frac{6}{5\sqrt{30}}$ умножим числитель и знаменатель на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{30}$.
$\frac{6}{5\sqrt{30}} = \frac{6 \cdot \sqrt{30}}{5\sqrt{30} \cdot \sqrt{30}} = \frac{6\sqrt{30}}{5 \cdot (\sqrt{30})^2} = \frac{6\sqrt{30}}{5 \cdot 30} = \frac{6\sqrt{30}}{150}$
Сократим числовой коэффициент дроби $\frac{6}{150}$ на их наибольший общий делитель, равный 6:
$\frac{6\sqrt{30}}{150} = \frac{1 \cdot \sqrt{30}}{25} = \frac{\sqrt{30}}{25}$
Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{25}$

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{20}{\sqrt{11}}$, умножим ее числитель и знаменатель на $\sqrt{11}$.
$\frac{20}{\sqrt{11}} = \frac{20 \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{20\sqrt{11}}{(\sqrt{11})^2} = \frac{20\sqrt{11}}{11}$
Числа 20 и 11 являются взаимно простыми, поэтому дробь не сокращается.
Ответ: $\frac{20\sqrt{11}}{11}$

4) Для дроби $\frac{m}{n\sqrt{m}}$ (при условии $m > 0$) умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{m}$.
$\frac{m}{n\sqrt{m}} = \frac{m \cdot \sqrt{m}}{n\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}} = \frac{m\sqrt{m}}{n \cdot (\sqrt{m})^2} = \frac{m\sqrt{m}}{nm}$
Сократим дробь на $m$ (так как $m \neq 0$):
$\frac{m\sqrt{m}}{nm} = \frac{\sqrt{m}}{n}$
Ответ: $\frac{\sqrt{m}}{n}$

5) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{13\sqrt{x}}$ (при условии $x > 0$), умножим ее числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$.
$\frac{4}{13\sqrt{x}} = \frac{4 \cdot \sqrt{x}}{13\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{4\sqrt{x}}{13 \cdot (\sqrt{x})^2} = \frac{4\sqrt{x}}{13x}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{4\sqrt{x}}{13x}$

6) Для дроби $\frac{17}{\sqrt{34}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{34}$.
$\frac{17}{\sqrt{34}} = \frac{17 \cdot \sqrt{34}}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{34}} = \frac{17\sqrt{34}}{34}$
Сократим дробь на 17, так как $34 = 17 \cdot 2$:
$\frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{17 \cdot 2} = \frac{\sqrt{34}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{34}}{2}$

7) Для дроби $\frac{39}{2\sqrt{13}}$ умножим числитель и знаменатель на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{13}$.
$\frac{39}{2\sqrt{13}} = \frac{39 \cdot \sqrt{13}}{2\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{39\sqrt{13}}{2 \cdot (\sqrt{13})^2} = \frac{39\sqrt{13}}{2 \cdot 13} = \frac{39\sqrt{13}}{26}$
Сократим числовой коэффициент $\frac{39}{26}$ на их наибольший общий делитель, равный 13 ($39 = 3 \cdot 13$ и $26 = 2 \cdot 13$):
$\frac{39\sqrt{13}}{26} = \frac{3 \cdot 13 \cdot \sqrt{13}}{2 \cdot 13} = \frac{3\sqrt{13}}{2}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{13}}{2}$